<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xmlns:wx="http://ilps.science.uva.nl/WikiXML/wx" xml:lang="pt" lang="pt">
<head>
<title>Espaço regular</title>
<meta name="wx_namespace" content="0"/>
<meta name="wx_pagename" content="Espaço_regular"/>
<meta name="wx_page_id" content="1436506"/>
</head>
<body>
<div id="wx_article">
<wx:section level="1" title="Espaço regular" id="wxsec1"><h1 class="pagetitle" id="wx1">Espaço regular</h1>

<p id="wx2">Em <a href="/wpt/Topologia" title="Topologia" wx:linktype="known" wx:pagename="Topologia" wx:page_id="1864" id="wx3">topologia</a>, e em áreas correlatas da <a href="/wpt/Matem%C3%A1tica" title="Matemática" wx:linktype="known" wx:pagename="Matemática" wx:page_id="1210" id="wx4">matemática</a>, <b id="wx5">espaços regulares</b> e espaços T<sub id="wx6">3</sub> são tipos de <a href="/wpt/Espa%C3%A7o_topol%C3%B3gico" title="Espaço topológico" wx:linktype="known" wx:pagename="Espaço_topológico" wx:page_id="199560" id="wx7">espaços topológicos</a> particulamente convenientes. Ambas condições são exemplos de axiomas de separação.</p>

<div id="wx_toc"/>

<a id="Defini.C3.A7.C3.B5es" name="Defini.C3.A7.C3.B5es"/>
<wx:section level="2" title="Definições" id="wxsec2"><h2 id="wx8">Definições</h2>

<div class="wx_image" wx:align="right" wx:thumb="thumb" id="wx9"><a href="/wpt/Imagem:Regular_space.svg" title="O ponto x, representado por um ponto à esquerda da figura, e o conjunto fechado F, representado por um disco fechado à direita, na figura, são separados por suas vizinhanãs U e V, representadas por discos maiores. O ponto x tem muito espaço para mover-se dentro do disco aberto aberto U, e o fechado F tem bastante espaço para mover-se dentro do disco aberto V, com U e V disjuntos." wx:linktype="image" wx:pagename="Imagem:Regular_space.svg" id="wx10"><img src="/wpt/Imagem:Regular_space.svg" alt="O ponto x, representado por um ponto à esquerda da figura, e o conjunto fechado F, representado por um disco fechado à direita, na figura, são separados por suas vizinhanãs U e V, representadas por discos maiores. O ponto x tem muito espaço para mover-se dentro do disco aberto aberto U, e o fechado F tem bastante espaço para mover-se dentro do disco aberto V, com U e V disjuntos." width="250" id="wx11"/></a> 

<div class="thumbcaption" id="wx12">
<p id="wx13">O ponto x, representado por um ponto à esquerda da figura, e o conjunto fechado F, representado por um disco fechado à direita, na figura, são separados por suas vizinhanãs U e V, representadas por discos maiores. O ponto x tem muito espaço para mover-se dentro do disco aberto aberto U, e o fechado F tem bastante espaço para mover-se dentro do disco aberto V, com U e V disjuntos.</p>
</div>
</div>

<p id="wx14">Suponha que <i id="wx15">X</i> é um espaço topológico. <i id="wx16">X</i> é um <i id="wx17">espaço regular</i> se, e somente se, dados um <a href="/wpt/Conjunto_fechado" title="Conjunto fechado" wx:linktype="known" wx:pagename="Conjunto_fechado" wx:page_id="347670" id="wx18">conjunto fechado</a> <i id="wx19">F</i> e um ponto <i id="wx20">x</i> que não pertence a <i id="wx21">F</i>, existem uma vizinhança <i id="wx22">U</i> de <i id="wx23">x</i> e uma vizinhança <i id="wx24">V</i> de <i id="wx25">F</i> que são disjuntas.</p>

<p id="wx26">Nesta situação, dizemos que <i id="wx27">x</i> e <i id="wx28">F</i> podem ser separados.</p>

<p id="wx29"><i id="wx30">X</i> é um <i id="wx31">espaço T<sub id="wx32">3</sub></i> se, e somente se, é regular e <a href="/wpt/Hausdorff" title="Hausdorff" wx:linktype="known" wx:pagename="Hausdorff" wx:page_id="959217" id="wx33">Espaço de Hausdorff</a>.</p>

<p id="wx34">Note que parte da literatura matemática utiliza definições distintas para os termos "regular" e "T<sub id="wx35">3</sub>".</p>

<p id="wx36">Atualmente, utiliza-se de forma corriqueira as definições aqui enunciadas. No entanto, alguns autores permutam os significados dos dois termos, ou os utilizam de forma simultânea, como se fossem a mesma condição. Adotaremos aqui a nomenclatura "regular e Hausdorff" ao invés do termo menos claro <i id="wx37">T<sub id="wx38">3</sub></i>. Em outra referência, é recomendável verificar qual é a definição que o autor utiliza.</p>

<a id="Rela.C3.A7.C3.B5es_com_outros_axiomas_de_separa.C3.A7.C3.A3o" name="Rela.C3.A7.C3.B5es_com_outros_axiomas_de_separa.C3.A7.C3.A3o"/>
</wx:section><wx:section level="2" title="Relações com outros axiomas de separação" id="wxsec3"><h2 id="wx39">Relações com outros axiomas de separação</h2>

<p id="wx40">Um espaço regular é necessariamente pré-regular.</p>

<p id="wx41">Existem muitos resultados para espaços topológicos que são regular e Hausdorff. Na maior parte dos casos, estes resultados valem para todos os espaços pré-regulares. Eles foram enunciados para espaços regulares e Hausdorff pelo fato de que a noção de espaço pré-regular veio posteriormente.</p>

<p id="wx42">Existem muitas situações onde uma outra condição sobre espaços topológicos (como normalidade, paracompacidade, ou compacidade local) implicam regularidade se algum outro axioma de separação mais fraco (como pré-regularidade) for satisfeito. Apesar de nem todo espaço de Hausdorff ser regular, um espaço de Hausdorff que é localmente compacto também é regular.</p>

<p id="wx43">Logo, de um certo modo, a regularidade não é realmente o que importa no caso de um espaço topológico localmente compacto, visto que poderíamos impor uma condição mais fraca para obter a regularidade do espaço.</p>

<p id="wx44">A maior parte dos espaços topológicos que são estudados na análise matemática são regulares, e de fato, eles são freqüentemente espaços completamente regulares, que é uma condição mais forte. Espaços regulares também podem ser contrastados com espaços normais.</p>

<p id="wx45"><br id="wx46"/>
</p>

<a id="Exemplos_e_n.C3.A3o-exemplos" name="Exemplos_e_n.C3.A3o-exemplos"/>
</wx:section><wx:section level="2" title="Exemplos e não-exemplos" id="wxsec4"><h2 id="wx47">Exemplos e não-exemplos</h2>

<p id="wx48">Como dito acima, qualquer espaço completamente regular é regular. Além disto, qualquer espaço T<sub id="wx49">0</sub> que não é <a href="/wpt/Espa%C3%A7o_de_Hausdorff" title="Espaço de Hausdorff" wx:linktype="known" wx:pagename="Espaço_de_Hausdorff" wx:page_id="881511" id="wx50">Hausdorff</a> (e portanto não é preregular) não é regular, visto que num espaço T<sub id="wx51">0</sub> pontos são conjuntos fechados.</p>

<p id="wx52">Por outro lado, espaços regulares que não são completamente regulares, ou pré-regulares, que não são regulares, são construídos apenas para servir de contra-exemplos para conjecturas e mostrar os limites entre possíveis teoremas.</p>

<p id="wx53">É claro que se pode encontrar espaços regulares que não são T<sub id="wx54">0</sub>, e portanto não são Hausdorff, como um espaço indiscreto. Um exemplo de espaço regular que não é completamente regular é o saca-rolhas de Tychonoff.</p>

<p id="wx55">Geralmente os teoremas que tratam de espaços regulares são aplicados a espaços que satisfazem propriedades mais fortes, como espaços métricos.</p>

<a id="Propriedades_elementares" name="Propriedades_elementares"/>
</wx:section><wx:section level="2" title="Propriedades elementares" id="wxsec5"><h2 id="wx56">Propriedades elementares</h2>

<p id="wx57">Suponha que <i id="wx58">X</i> é um espaço regular. Então, dado um ponto <i id="wx59">x</i> e uma vizinhança <i id="wx60">G</i> de <i id="wx61">x</i>, existe uma vizinhança fechada <i id="wx62">E</i> de <i id="wx63">x</i> que é um subconjunto fechado de <i id="wx64">G</i>. Além disto, pode-se mostrar que esta propriedade caracteriza os espaços regulares.</p>
</wx:section></wx:section></div>
<div id="wx_categorylinks">
<a href="/wpt/index.php?title=Especial:Categories&amp;article=Espa%C3%A7o_regular" title="Especial:Categories" wx:linktype="known" wx:pagename="Especial:Categories" id="wx65">Categorias de páginas</a>: <span dir="ltr" id="wx66"><a href="/wpt/Categoria:Topologia" title="Categoria:Topologia" wx:linktype="known" wx:pagename="Categoria:Topologia" wx:page_id="126621" id="wx67">Topologia</a></span></div>
<div id="wx_languagelinks">
Outras línguas: <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_space" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="en:Regular_space" id="wx68">English</a> | <a href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_r%C3%A9gulier" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="fr:Espace_régulier" id="wx69">Français</a> | <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_regolare" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="it:Spazio_regolare" id="wx70">Italiano</a> | <a href="http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_regularna" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="pl:Przestrzeń_regularna" id="wx71">Polski</a> | <a href="http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E7%A9%BA%E9%96%93" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="zh:正則空間" id="wx72">中文</a></div>
</body>
</html>
