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<title>Insieme trascurabile</title>
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<div id="wx_article">
<wx:section level="1" title="Insieme trascurabile" id="wxsec1"><h1 class="pagetitle" id="wx1">Insieme trascurabile</h1>

<p id="wx2">In <a href="/wit/Matematica" title="Matematica" wx:linktype="known" wx:pagename="Matematica" wx:page_id="2708" id="wx3">matematica</a>, un <b id="wx4">insieme trascurabile</b> è un insieme abbastanza piccolo da essere ignorato in determinati casi. Per esempio gli <a href="/wit/Insieme_finito" title="Insieme finito" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme_finito" wx:page_id="209700" id="wx5">insiemi finiti</a> possono essere ignorati nello studio del <a href="/wit/Limite_%28matematica%29" title="Limite (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Limite_(matematica)" wx:page_id="120737" id="wx6">limite</a> di una successione, e gli <a href="/wit/Insieme_nullo" title="Insieme nullo" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme_nullo" wx:page_id="193246" id="wx7">insiemi nulli</a> possono essere ignorati quando si studia l'<a href="/wit/Integrale_di_Lebesgue" title="Integrale di Lebesgue" wx:linktype="known" wx:pagename="Integrale_di_Lebesgue" wx:page_id="137749" id="wx8">integrale</a> di una <a href="/wit/Funzione_misurabile" title="Funzione misurabile" wx:linktype="known" wx:pagename="Funzione_misurabile" wx:page_id="452237" id="wx9">funzione misurabile</a>.</p>

<p id="wx10">Gli insiemi trascurabili definiscono molti concetti utili che possono essere applicati in varie situazioni, come la nozione di vero <a href="/wit/Quasi_ovunque" title="Quasi ovunque" wx:linktype="known" wx:pagename="Quasi_ovunque" wx:page_id="298082" id="wx11">quasi ovunque</a>. Perché tutto questo funzioni, in genere è sufficiente che gli insiemi trascurabili formino un <a href="/wit/Ideale_%28teoria_dei_reticoli%29" class="new" title="Ideale (teoria dei reticoli)" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Ideale_(teoria_dei_reticoli)" id="wx12">ideale</a>; cioè, che l'<a href="/wit/Insieme_vuoto" title="Insieme vuoto" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme_vuoto" wx:page_id="2401" id="wx13">insieme vuoto</a> sia trascurabile, l'<a href="/wit/Unione_%28insiemistica%29" title="Unione (insiemistica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Unione_(insiemistica)" wx:page_id="4403" id="wx14">unione</a> di due insiemi trascurabili sia trascurabile, e che ogni <a href="/wit/Sottoinsieme" title="Sottoinsieme" wx:linktype="known" wx:pagename="Sottoinsieme" wx:page_id="4116" id="wx15">sottoinsieme</a> di un insieme trascurabile sia trascurabile. In alcuni casi è necessario anche che l'ideale sia un <a href="/wit/Sigma-ideale" class="new" title="Sigma-ideale" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Sigma-ideale" id="wx16">sigma-ideale</a>, in modo che l'unione <a href="/wit/Numerabile" title="Numerabile" wx:linktype="known" wx:pagename="Numerabile" wx:page_id="130671" id="wx17">numerabile</a> di insiemi trascurabili sia ancora trascurabile. Se <i id="wx18">I</i> e <i id="wx19">J</i> sono ideali di sottoinsiemi dello stesso <a href="/wit/Insieme" title="Insieme" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme" wx:page_id="16420" id="wx20">insieme</a> <i id="wx21">X</i>, allora si può parlare di sottoinsiemi '<b id="wx22">I<i id="wx23">-trascurabili</i> e '</b>J<i id="wx24">-trascurabili</i>.</p>

<a id="Esempi" name="Esempi"/>
<wx:section level="2" title="Esempi" id="wxsec2"><h2 id="wx25">Esempi</h2>

<ul id="wx26">
<li id="wx27">
<p id="wx28">Sia <i id="wx29">X</i> l'insieme <b id="wx30">N</b> dei <a href="/wit/Numero_naturale" title="Numero naturale" wx:linktype="known" wx:pagename="Numero_naturale" wx:page_id="23233" id="wx31">numeri naturali</a>, e sia un sottoinsieme di <b id="wx32">N</b> trascurabile <a href="/wit/Se_e_solo_se" title="Se e solo se" wx:linktype="known" wx:pagename="Se_e_solo_se" wx:page_id="132980" id="wx33">se e solo se</a> è <a href="/wit/Insieme_finito" title="Insieme finito" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme_finito" wx:page_id="209700" id="wx34">finito</a>.</p>
</li>
</ul>

<p id="wx35">Allora gli insiemi trascurabili così definiti formano un ideale. Questa idea può essere applicata ad ogni <a href="/wit/Insieme_infinito" title="Insieme infinito" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme_infinito" wx:page_id="208510" id="wx36">insieme infinito</a>; ma se applicata a un insieme finito, ogni insieme sarebbe trascurabile, che non è una nozione molto utile.</p>

<ul id="wx37">
<li id="wx38">
<p id="wx39">Sia <i id="wx40">X</i> un <a href="/wit/Insieme_non_numerabile" title="Insieme non numerabile" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme_non_numerabile" wx:page_id="39808" id="wx41">insieme non numerabile</a>, e sia un sottoinsieme di <i id="wx42">X</i> trascurabile se è <a href="/wit/Insieme_numerabile" title="Insieme numerabile" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme_numerabile" wx:page_id="37493" id="wx43">numerabile</a>.</p>
</li>
</ul>

<p id="wx44">Allora gli insiemi trascurabili formano un sigma-ideale.</p>

<ul id="wx45">
<li id="wx46">
<p id="wx47">Sia <i id="wx48">X</i> uno <a href="/wit/Spazio_misurabile" title="Spazio misurabile" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_misurabile" wx:page_id="453645" id="wx49">spazio misurabile</a> dotato di una <a href="/wit/Misura_%28matematica%29" title="Misura (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Misura_(matematica)" wx:page_id="56829" id="wx50">misura</a> <i id="wx51">m</i>, e sia un sottoinsieme di <i id="wx52">X</i> trascurabile se è <i id="wx53">m</i>-<a href="/wit/Insieme_nullo" title="Insieme nullo" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme_nullo" wx:page_id="193246" id="wx54">nullo</a>.</p>
</li>
</ul>

<p id="wx55">Allora gli insiemi trascurabili formano un sigma-ideale. Ogni sigma ideale su <i id="wx56">X</i> può essere ottenuto in questo modo assegnando un'opportuna misura su <i id="wx57">X</i>.</p>

<ul id="wx58">
<li id="wx59">
<p id="wx60">Sia <i id="wx61">X</i> uno <a href="/wit/Spazio_topologico" title="Spazio topologico" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_topologico" wx:page_id="12795" id="wx62">spazio topologico</a>, e sia un sottoinsieme trascurabile se è di <a href="/wit/Prima_categoria" title="Prima categoria" wx:linktype="known" wx:pagename="Prima_categoria" wx:page_id="1222662" id="wx63">prima categoria</a>, cioè, se è un'unione numerabile di <a href="/wit/Insieme_mai_denso" title="Insieme mai denso" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme_mai_denso" wx:page_id="308072" id="wx64">insiemi mai densi</a> (dove un insieme è mai denso se non è <a href="/wit/Insieme_denso" title="Insieme denso" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme_denso" wx:page_id="181788" id="wx65">denso</a> in ogni <a href="/wit/Insieme_aperto" title="Insieme aperto" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme_aperto" wx:page_id="43634" id="wx66">insieme aperto</a>).</p>
</li>
</ul>

<p id="wx67">Allora gli insiemi trascurabili formano un sigma-ideale. <i id="wx68">X</i> è uno <i id="wx69"><a href="/wit/Spazio_di_Baire" title="Spazio di Baire" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_di_Baire" wx:page_id="302578" id="wx70">spazio di Baire</a></i> se la <a href="/wit/Parte_interna" title="Parte interna" wx:linktype="known" wx:pagename="Parte_interna" wx:page_id="1153201" id="wx71">parte interna</a> di ogni insieme trascurabile così definito è vuota.</p>

<ul id="wx72">
<li id="wx73">
<p id="wx74">Sia <i id="wx75">X</i> un <a href="/wit/Insieme_diretto" title="Insieme diretto" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme_diretto" wx:page_id="310065" id="wx76">insieme diretto</a>, e sia un sottoinsieme di <i id="wx77">X</i> trascurabile se ha un <a href="/wit/Estremo_superiore" title="Estremo superiore" wx:linktype="known" wx:pagename="Estremo_superiore" wx:page_id="639882" id="wx78">estremo superiore</a>.</p>
</li>
</ul>

<p id="wx79">Allora gli insiemi trascurabili formano un ideale. Un caso particolare di questo si ottiene usando il normale ordinamento di <b id="wx80">N</b>.</p>

<a id="Concetti_derivati" name="Concetti_derivati"/>
</wx:section><wx:section level="2" title="Concetti derivati" id="wxsec3"><h2 id="wx81">Concetti derivati</h2>

<p id="wx82">Sia <i id="wx83">X</i> un <a href="/wit/Insieme" title="Insieme" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme" wx:page_id="16420" id="wx84">insieme</a>, e sia <i id="wx85">I</i> un ideale di <a href="/wit/Sottoinsieme" title="Sottoinsieme" wx:linktype="known" wx:pagename="Sottoinsieme" wx:page_id="4116" id="wx86">sottoinsiemi</a> trascurabili di <i id="wx87">X</i>. Se <i id="wx88">p</i> è una proposizione sugli elementi di <i id="wx89">X</i>, allora <i id="wx90">p</i> è vera <i id="wx91"><a href="/wit/Quasi_ovunque" title="Quasi ovunque" wx:linktype="known" wx:pagename="Quasi_ovunque" wx:page_id="298082" id="wx92">quasi ovunque</a></i> se l'insieme dei punti in cui <i id="wx93">p</i> è vera è il <a href="/wit/Complemento_%28teoria_degli_insiemi%29" title="Complemento (teoria degli insiemi)" wx:linktype="known" wx:pagename="Complemento_(teoria_degli_insiemi)" wx:page_id="610134" id="wx94">complemento</a> di un insieme trascurabile. Cioè, <i id="wx95">p</i> potrebbe non essere sempre vera, ma è falsa così raramente che può essere ignorata per un determinato scopo.</p>

<p id="wx96">Se <i id="wx97">f</i> e <i id="wx98">g</i> sono entrambe funzioni da <i id="wx99">X</i> a <i id="wx100">Y</i>, allora <i id="wx101">f</i> e <i id="wx102">g</i> sono <i id="wx103">equivalenti</i> se sono uguali quasi ovunque. Ad esempio, sia <i id="wx104">X</i> l'insieme <b id="wx105">N</b>, e gli insiemi trascurabili siano gli insiemi finiti. Allora <i id="wx106">f</i> e <i id="wx107">g</i> sono successioni. Se <i id="wx108">Y</i> è uno <a href="/wit/Spazio_topologico" title="Spazio topologico" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_topologico" wx:page_id="12795" id="wx109">spazio topologico</a>, allora o entrambe le <i id="wx110">f</i> e <i id="wx111">g</i> hanno lo stesso limite, oppure nessuna. (Quando si generalizza agli insiemi diretti, si ottiene lo stesso risultato, ma per le <a href="/wit/Rete_%28matematica%29" title="Rete (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Rete_(matematica)" wx:page_id="304235" id="wx112">reti</a>.) Oppure, sia <i id="wx113">X</i> uno spazio di misura, e siano trascurabili gli insiemi nulli. Se <i id="wx114">Y</i> è la <a href="/wit/Retta_reale" title="Retta reale" wx:linktype="known" wx:pagename="Retta_reale" wx:page_id="427963" id="wx115">retta reale</a> <b id="wx116">R</b>, allora o entrambe le <i id="wx117">f</i> e <i id="wx118">g</i> hanno lo stesso integrale, oppure nessuna.</p>

<a id="Voci_correlate" name="Voci_correlate"/>
</wx:section><wx:section level="2" title="Voci correlate" id="wxsec4"><h2 id="wx119">Voci correlate</h2>

<ul id="wx120">
<li id="wx121"><a href="/wit/Funzione_trascurabile" class="new" title="Funzione trascurabile" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Funzione_trascurabile" id="wx122">Funzione trascurabile</a></li>
</ul>

<p id="wx123"><br id="wx124"/>
</p>

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<div style="margin-left:0; margin-right:0" id="wx125">
<ul style="display:block; clear:both; list-style-image:none; list-style-type:none; width:100%; vertical-align:middle; margin:0; margin-bottom:1em; padding:0; min-height:27px" id="wx126">
<li style="float:left; height:27px; line-height:25px; width:100%; margin:0; margin-top:.5em; margin-left:0; margin-right:0; padding:0; border:1px solid #CCF; background-color:#F0EEFF" title="Accedi alle voci di Wikipedia che parlano di matematica" id="wx127"><a href="/wit/Immagine:Stub_matematica.png" title="matematica" wx:linktype="image" wx:pagename="Immagine:Stub_matematica.png" wx:page_id="627197" id="wx128"><img src="/wit/Immagine:Stub_matematica.png" alt="matematica" width="25" height="25" id="wx129"/></a> <b id="wx130"><a href="/wit/Portale:matematica" class="new" title="Portale:matematica" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Portale:matematica" id="wx131">Portale Matematica</a></b>
<p id="wx132">:  accedi alle voci di Wikipedia che parlano di matematica</p>
</li>
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<a href="/wit/index.php?title=Speciale:Categories&amp;article=Insieme_trascurabile" title="Speciale:Categories" wx:linktype="known" wx:pagename="Speciale:Categories" id="wx133">Categoria</a>: <span dir="ltr" id="wx134"><a href="/wit/Categoria:Teoria_degli_insiemi" title="Categoria:Teoria degli insiemi" wx:linktype="known" wx:pagename="Categoria:Teoria_degli_insiemi" wx:page_id="37861" id="wx135">Teoria degli insiemi</a></span></div>
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Altre lingue: <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Negligible_set" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="en:Negligible_set" id="wx136">English</a></div>
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<p id="wx137">matematica</p>
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