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<title>Dimostrazioni dell'Integrale di Riemann</title>
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<wx:section level="1" title="Dimostrazioni dell'Integrale di Riemann" id="wxsec1"><h1 class="pagetitle" id="wx1">Dimostrazioni dell'Integrale di Riemann</h1>
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<a href="/wit/index.php?title=Speciale:Categories&amp;article=Dimostrazioni_dell%27Integrale_di_Riemann" title="Speciale:Categories" wx:linktype="known" wx:pagename="Speciale:Categories" id="wx2">Categoria</a>: <span dir="ltr" id="wx3"><a href="/wit/Categoria:Calcolo_integrale" title="Categoria:Calcolo integrale" wx:linktype="known" wx:pagename="Categoria:Calcolo_integrale" wx:page_id="638012" id="wx4">Calcolo integrale</a></span></div>
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<wx:templatearguments for="wx_t1"><wx:argument name="1">
<p id="wx5">Integrale di Riemann</p>
</wx:argument></wx:templatearguments>
<wx:templatearguments for="wx_t2"><wx:argument name="1">
<p id="wx6">Teorema</p>
</wx:argument><wx:argument name="2">
<p id="wx7">Linearità dell'operazione di integrazione</p>
</wx:argument><wx:argument name="3">
<p id="wx8">Siano e due <a href="/wit/Funzione_%28matematica%29" title="Funzione (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Funzione_(matematica)" wx:page_id="1862" id="wx9">funzioni</a> <a href="/wit/Funzione_continua" title="Funzione continua" wx:linktype="known" wx:pagename="Funzione_continua" wx:page_id="12195" id="wx10">continue</a> definite in un <a href="/wit/Intervallo" title="Intervallo" wx:linktype="known" wx:pagename="Intervallo" wx:page_id="80910" id="wx11">intervallo</a> e siano . Allora: :</p>
</wx:argument></wx:templatearguments>
<wx:templatearguments for="wx_t3"><wx:argument name="1">
<p id="wx12">Dimostrazione</p>
</wx:argument><wx:argument name="2">
<p id="wx13">Linearità dell'operazione di integrazione</p>
</wx:argument><wx:argument name="3">
<p id="wx14">Dalla <a href="/wit/Definizione" title="Definizione" wx:linktype="known" wx:pagename="Definizione" wx:page_id="48186" id="wx15">definizione</a> si ha che: : da cui: : dalla <a href="/wit/Propriet%C3%A0_distributiva" title="Proprietà distributiva" wx:linktype="known" wx:pagename="Proprietà_distributiva" wx:page_id="198223" id="wx16">proprietà distributiva</a> e dal fatto che il <a href="/wit/Limite_%28matematica%29" title="Limite (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Limite_(matematica)" wx:page_id="120737" id="wx17">limite</a> della somma coincide con la somma dei <a href="/wit/Limite_%28matematica%29" title="Limite (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Limite_(matematica)" wx:page_id="120737" id="wx18">limiti</a> si ha: : da cui discende la proprietà di linearità.</p>
</wx:argument></wx:templatearguments>
<wx:templatearguments for="wx_t4"><wx:argument name="1">
<p id="wx19">Teorema</p>
</wx:argument><wx:argument name="2">
<p id="wx20">Additività dell'operazione di integrazione</p>
</wx:argument><wx:argument name="3">
<p id="wx21">Sia <a href="/wit/Funzione_continua" title="Funzione continua" wx:linktype="known" wx:pagename="Funzione_continua" wx:page_id="12195" id="wx22">continua</a> e definita in un <a href="/wit/Intervallo" title="Intervallo" wx:linktype="known" wx:pagename="Intervallo" wx:page_id="80910" id="wx23">intervallo</a> e sia . Allora: :</p>
</wx:argument></wx:templatearguments>
<wx:templatearguments for="wx_t5"><wx:argument name="1">
<p id="wx24">Dimostrazione</p>
</wx:argument><wx:argument name="2">
<p id="wx25">Additività dell'operazione di integrazione</p>
</wx:argument><wx:argument name="3">
<p id="wx26">Dalla <a href="/wit/Definizione" title="Definizione" wx:linktype="known" wx:pagename="Definizione" wx:page_id="48186" id="wx27">definizione</a> si ha che : da cui se si ha esistono un valore ed un valore la cui somma è tali che per un affinamento sufficiente della <a href="/wit/Partizione" title="Partizione" wx:linktype="known" wx:pagename="Partizione" wx:page_id="108760" id="wx28">partizione</a> risulti : : da cui distribuendo la misura dell'<a href="/wit/Intervallo" title="Intervallo" wx:linktype="known" wx:pagename="Intervallo" wx:page_id="80910" id="wx29">intervallo</a> : In cui e, considerando l'<a href="/wit/Intervallo" title="Intervallo" wx:linktype="known" wx:pagename="Intervallo" wx:page_id="80910" id="wx30">intervallo</a> , l'indice può essere riscritto come in quanto è il valore superiore del primo <a href="/wit/Intervallo" title="Intervallo" wx:linktype="known" wx:pagename="Intervallo" wx:page_id="80910" id="wx31">intervallo</a> della <a href="/wit/Partizione" title="Partizione" wx:linktype="known" wx:pagename="Partizione" wx:page_id="108760" id="wx32">partizione</a> di . Risulta allora (ricordando che ) : da cui discende la proprietà di additività.</p>
</wx:argument></wx:templatearguments>
<wx:templatearguments for="wx_t6"><wx:argument name="1">
<p id="wx33">Teorema</p>
</wx:argument><wx:argument name="2">
<p id="wx34">Teorema del confronto</p>
</wx:argument><wx:argument name="3">
<p id="wx35">Siano e due <a href="/wit/Funzione_%28matematica%29" title="Funzione (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Funzione_(matematica)" wx:page_id="1862" id="wx36">funzioni</a> <a href="/wit/Funzione_continua" title="Funzione continua" wx:linktype="known" wx:pagename="Funzione_continua" wx:page_id="12195" id="wx37">continue</a> definite in un <a href="/wit/Intervallo" title="Intervallo" wx:linktype="known" wx:pagename="Intervallo" wx:page_id="80910" id="wx38">intervallo</a> e tali che in . Allora: :</p>
</wx:argument></wx:templatearguments>
<wx:templatearguments for="wx_t7"><wx:argument name="1">
<p id="wx39">Dimostrazione</p>
</wx:argument><wx:argument name="2">
<p id="wx40">Teorema del confronto</p>
</wx:argument><wx:argument name="3">
<p id="wx41">Infatti se si ha che nel <a href="/wit/Insieme_compatto" title="Insieme compatto" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme_compatto" wx:page_id="284461" id="wx42">compatto</a> , effettuando una <a href="/wit/Partizione" title="Partizione" wx:linktype="known" wx:pagename="Partizione" wx:page_id="108760" id="wx43">partizione</a> di tale compatto la (ovviamente la disuguaglianza permane) e moltiplicando da ambo i lati per il fattore si ottiene : per ogni . A questo punto se la relazione è valida per qualsiasi <a href="/wit/Intervallo" title="Intervallo" wx:linktype="known" wx:pagename="Intervallo" wx:page_id="80910" id="wx44">intervallo</a> in cui è suddiviso il compatto vale la seguente : Come conseguenza del corollario del <a href="/wit/Limite_%28matematica%29" title="Limite (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Limite_(matematica)" wx:page_id="120737" id="wx45">teorema della permanenza del segno dei limiti</a>, applicando il <a href="/wit/Limite_%28matematica%29" title="Limite (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Limite_(matematica)" wx:page_id="120737" id="wx46">limite</a> alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata : Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.</p>
</wx:argument></wx:templatearguments>
<wx:templatearguments for="wx_t8"><wx:argument name="1">
<p id="wx47">Teorema</p>
</wx:argument><wx:argument name="2">
<p id="wx48">Valore assoluto</p>
</wx:argument><wx:argument name="3">
<p id="wx49">Sia <a href="/wit/Funzione_%28matematica%29" title="Funzione (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Funzione_(matematica)" wx:page_id="1862" id="wx50">una funzione</a> <a href="/wit/Funzione_integrabile" class="new" title="Funzione integrabile" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Funzione_integrabile" id="wx51">integrabile</a> in un <a href="/wit/Intervallo" title="Intervallo" wx:linktype="known" wx:pagename="Intervallo" wx:page_id="80910" id="wx52">intervallo</a> , allora si ha: :</p>
</wx:argument></wx:templatearguments>
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<wx:templatearguments for="wx_t10"><wx:argument name="1">
<p id="wx53">matematica</p>
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