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<title>Prodotto tensoriale</title>
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<div id="wx_article">
<wx:section level="1" title="Prodotto tensoriale" id="wxsec1"><h1 class="pagetitle" id="wx1">Prodotto tensoriale</h1>

<p id="wx2">Il <b id="wx3">prodotto tensoriale</b> <i id="wx4">V</i> ⊗ <i id="wx5">W</i> di due <a href="/wit/Spazio_vettoriale" title="Spazio vettoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_vettoriale" wx:page_id="12132" id="wx6">spazi vettoriali</a> <i id="wx7">V</i>, <i id="wx8">W</i>, è uno spazio vettoriale che contiene i prodotti di <a href="/wit/Vettore_%28matematica%29" title="Vettore (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Vettore_(matematica)" wx:page_id="65715" id="wx9">vettori</a> di <i id="wx10">V</i> e <i id="wx11">W</i> in un senso <a href="/wit/Universale" title="Universale" wx:linktype="known" wx:pagename="Universale" wx:page_id="1562231" id="wx12">universale</a>.</p>

<p id="wx13">Possiamo <a href="/wit/Pensiero" title="Pensiero" wx:linktype="known" wx:pagename="Pensiero" wx:page_id="94917" id="wx14">pensare</a> ad una <a href="/wit/Applicazione_multilineare" title="Applicazione multilineare" wx:linktype="known" wx:pagename="Applicazione_multilineare" wx:page_id="1161153" id="wx15">applicazione bilineare</a> <i id="wx16">V</i> × <i id="wx17">W</i> → <i id="wx18">L</i> come a un prodotto ⋅ tra vettori di <i id="wx19">V</i> e <i id="wx20">W</i> a valori in un terzo <a href="/wit/Spazio_vettoriale" title="Spazio vettoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_vettoriale" wx:page_id="12132" id="wx21">spazio vettoriale</a> <i id="wx22">L</i> (sebbene non necessario, è utile pensarla in questo modo). Se prendiamo un'altro spazio <i id="wx23">M</i> e un <a href="/wit/Omomorfismo" title="Omomorfismo" wx:linktype="known" wx:pagename="Omomorfismo" wx:page_id="42957" id="wx24">omomorfismo</a> <i id="wx25">φ</i> : <i id="wx26">L</i> → <i id="wx27">M</i>, abbiamo che <i id="wx28">φ</i> ( <i id="wx29">v</i> · <i id="wx30">w</i> ) è un prodotto a valori in <i id="wx31">M</i>. Risulta che tutti i possibili prodotti su <i id="wx32">V</i> × <i id="wx33">W</i> si possono ottenere in questo modo a partire da uno a valori in un certo spazio che indichiamo con <i id="wx34">V</i> ⊗ <i id="wx35">W</i>. In altre parole <i id="wx36">V</i> ⊗ <i id="wx37">W</i> è uno <a href="/wit/Spazio_vettoriale" title="Spazio vettoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_vettoriale" wx:page_id="12132" id="wx38">spazio vettoriale</a> con la proprietà che tutti i possibili prodotti su <i id="wx39">V</i> × <i id="wx40">W</i> si possono ottenere con un <a href="/wit/Omomorfismo" title="Omomorfismo" wx:linktype="known" wx:pagename="Omomorfismo" wx:page_id="42957" id="wx41">omomorfismo</a> da <i id="wx42">V</i> ⊗ <i id="wx43">W</i>, che per questo motivo viene definito <b id="wx44">universale</b>. Se <i id="wx45">v</i> e <i id="wx46">w</i> sono rispettivamente elementi di <i id="wx47">V</i> e <i id="wx48">W</i> si denota con <i id="wx49">v</i> ⊗ <i id="wx50">w</i> il prodotto di <i id="wx51">v</i> e <i id="wx52">w</i> in <i id="wx53">V</i> ⊗ <i id="wx54">W</i>.</p>

<p id="wx55">Si dimostra che due spazi vettoriali con questa proprietà sono <a href="/wit/Isomorfismo" title="Isomorfismo" wx:linktype="known" wx:pagename="Isomorfismo" wx:page_id="207995" id="wx56">isomorfi</a>.</p>

<p id="wx57">Per dimostrarne l'esistenza lo si costruisce come spazio quoziente dello <a href="/wit/Spazio_vettoriale#Spazio_vettoriale_libero" title="Spazio vettoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_vettoriale" wx:page_id="12132" wx:fragment="Spazio_vettoriale_libero" id="wx58">spazio vettoriale libero</a> su <i id="wx59">V</i>×<i id="wx60">W</i> imponendo le relazioni ovvie per far si che la proiezione composta con l'immersione sia bilineare.</p>

<p id="wx61">Prendendo poi spazi quozienti del prodotto tensoriale possiamo ottenere, ad esempio, lo spazio universale in cui i prodotti sono simmetrici (basta imporre la relazione <i id="wx62">v</i> ⊗ <i id="wx63">w</i> - <i id="wx64">w</i> ⊗ <i id="wx65">v</i> = 0, cioè prendere il quoziente ( <i id="wx66">V</i> ⊗ <i id="wx67">W</i> ) / <i id="wx68">K</i> dove <i id="wx69">K</i> è il sottospazio generato da tutti gli elementi del tipo <i id="wx70">v</i> ⊗ <i id="wx71">w</i> - <i id="wx72">w</i> ⊗ <i id="wx73">v</i> ) o antisimmetrici (imponendo <i id="wx74">v</i> ⊗ <i id="wx75">w</i> + <i id="wx76">w</i> ⊗ <i id="wx77">v</i> = 0). Queste costruzioni sono fondamentali in svariati campi (ad esempio permettono di definire le <a href="/wit/Forma_differenziale" title="Forma differenziale" wx:linktype="known" wx:pagename="Forma_differenziale" wx:page_id="273420" id="wx78">forme differenziali</a> sugli <a href="/wit/Spazio_tangente" title="Spazio tangente" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_tangente" wx:page_id="703701" id="wx79">spazi tangenti</a> di <a href="/wit/Variet%C3%A0_differenziale" title="Varietà differenziale" wx:linktype="known" wx:pagename="Varietà_differenziale" wx:page_id="40879" id="wx80">varietà differenziali</a>).</p>

<p id="wx81">La stesso discorso può essere fatto in modo pressoché identico per i <a href="/wit/Modulo_%28struttura%29" title="Modulo (struttura)" wx:linktype="known" wx:pagename="Modulo_(struttura)" wx:page_id="63266" id="wx82">moduli</a> (strutture che generalizzano gli spazi vettoriali prendendo gli scalari in un <a href="/wit/Anello_%28algebra%29" title="Anello (algebra)" wx:linktype="known" wx:pagename="Anello_(algebra)" wx:page_id="33544" id="wx83">anello</a> invece che in un <a href="/wit/Campo_%28matematica%29" title="Campo (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Campo_(matematica)" wx:page_id="31716" id="wx84">campo</a>). Come caso particolare possiamo pensare anche al prodotto tensoriale di <a href="/wit/Gruppo_%28matematica%29" title="Gruppo (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Gruppo_(matematica)" wx:page_id="34052" id="wx85">gruppi abeliani</a> (che sono moduli sull'anello degli interi).</p>

<div id="wx_toc"/>

<a id="Definizione" name="Definizione"/>
<wx:section level="2" title="Definizione" id="wxsec2"><h2 id="wx86">Definizione</h2>

<div class="wx_image" wx:align="right" id="wx87"><a href="/wit/Immagine:DefinizioneProdottoTensoriale.png" title="" wx:linktype="image" wx:pagename="Immagine:DefinizioneProdottoTensoriale.png" id="wx88"><img src="/wit/Immagine:DefinizioneProdottoTensoriale.png" alt="" id="wx89"/></a></div>

<p id="wx90">Riprendendo quanto detto nell'introduzione, definiamo il <b id="wx91">prodotto tensoriale</b> di due spazi vettoriali <i id="wx92">V</i>, <i id="wx93">W</i> come uno spazio <i id="wx94">V</i> ⊗ <i id="wx95">W</i> per cui presa una qualsiasi applicazione bilineare ⋅ : <i id="wx96">V</i> × <i id="wx97">W</i> → <i id="wx98">H</i> esiste un'unico omomorfismo φ : <i id="wx99">V</i> ⊗ <i id="wx100">W</i> → <i id="wx101">H</i> tale che</p>

<dl id="wx102">
<dd id="wx103"><i id="wx104">v</i>
<p id="wx105">⋅ <i id="wx106">w</i> = φ ( <i id="wx107">v</i> ⊗ <i id="wx108">w</i> ).</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx109">Fissati <i id="wx110">V</i> e <i id="wx111">W</i>, nella <a href="/wit/Teoria_delle_categorie" title="Teoria delle categorie" wx:linktype="known" wx:pagename="Teoria_delle_categorie" wx:page_id="39738" id="wx112">categoria</a> delle applicazioni bilineari su <i id="wx113">V</i> × <i id="wx114">W</i> (dove gli oggetti sono le coppie ( <i id="wx115">H</i>, ρ ), con ρ : <i id="wx116">V</i> × <i id="wx117">W</i> → <i id="wx118">H</i> bilineare, e le frecce (omomorfismi tra oggetti) le trasfomazioni lineari tra i codomini), segue direttamente dalla definizione che ( <i id="wx119">V</i> ⊗ <i id="wx120">W</i>, ⊗ ) è un elemento universale. Un risultato ben noto è che l'elemento universale è unico a meno di isomorfismo, cioè gli spazi e rispettive funzioni bilineari con la proprietà che da loro si riescono ad ottene tutti i prodotti su <i id="wx121">V</i> × <i id="wx122">W</i> sono isomorfi.</p>

<p id="wx123">Se <i id="wx124">V</i> e <i id="wx125">W</i> hanno dimensione finita, con basi { <i id="wx126">v</i> <sub id="wx127">i</sub> } <sub id="wx128">i=1...n</sub> e { <i id="wx129">w</i> <sub id="wx130">j</sub> } <sub id="wx131">j=1...m</sub> rispettivamente, allora si dimostra che tutti i tensori del tipo <i id="wx132">v</i> <sub id="wx133">i</sub> ⊗ <i id="wx134">w</i> <sub id="wx135">j</sub> formano una base per <i id="wx136">V</i> ⊗ <i id="wx137">W</i> che quindi ha dimensione <i id="wx138">m</i> <i id="wx139">n</i> (vedi anche <a href="/wit/Prodotto_tensoriale#Propriet.C3.A0" title="Prodotto tensoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Prodotto_tensoriale" wx:page_id="592106" wx:fragment="Proprietà" id="wx140">Proprietà</a> ).</p>

<p id="wx141">Si sottolinea che l'elemento generico di <i id="wx142">V</i> ⊗ <i id="wx143">W</i> non è della forma <i id="wx144">v</i> ⊗ <i id="wx145">w</i>, ma è una somma di tali termini:</p>

<dl id="wx146">
<dd id="wx147">
<p id="wx148">∑ <i id="wx149">v</i> <sub id="wx150">α</sub> ⊗ <i id="wx151">w</i> <sub id="wx152">β</sub>,       con <i id="wx153">v</i> <sub id="wx154">α</sub> ∈ <i id="wx155">V</i>, <i id="wx156">w</i> <sub id="wx157">β</sub> ∈ <i id="wx158">W</i>.</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx159">Segue direttamente dalla definizione che esiste un isomorfismo canonico tra Bil ( <i id="wx160">V</i>, <i id="wx161">W</i>; <i id="wx162">H</i> ) e L ( <i id="wx163">V</i> ⊗ <i id="wx164">W</i>, H ). In particolare le forme bilineari sono in corrispondenza con i funzionali di <i id="wx165">V</i> ⊗ <i id="wx166">W</i>.</p>

<p id="wx167">Per spazi a dimensione finita esiste anche un isomorfismo canonico tra lo spazio delle forme bilineari e <i id="wx168">V</i> * ⊗ <i id="wx169">W</i> * (vedi <a href="/wit/Prodotto_tensoriale#Propriet.C3.A0" title="Prodotto tensoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Prodotto_tensoriale" wx:page_id="592106" wx:fragment="Proprietà" id="wx170">Proprietà</a> ), importante per <a href="/wit/Prodotto_tensoriale#Forme_multilineari_e_geometria_differenziale" title="Prodotto tensoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Prodotto_tensoriale" wx:page_id="592106" wx:fragment="Forme_multilineari_e_geometria_differenziale" id="wx171">l'uso in geometria differenziale</a> dei prodotti tensoriali.</p>

<a id="Esistenza" name="Esistenza"/>
<wx:section level="3" title="Esistenza" id="wxsec11"><h3 id="wx172">Esistenza</h3>

<p id="wx173">Definire il prodotto tensoriale elencandone le proprietà non ci assicura l'esistenza. Per porre rimedio dobbiamo costruire almeno uno spazio che soddisfi la definizione, e se ne esistono altri devono essere isomorfi a questo. Consideriamo lo <a href="/wit/Spazio_vettoriale#Spazio_Vettoriale_Libero" title="Spazio vettoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_vettoriale" wx:page_id="12132" wx:fragment="Spazio_Vettoriale_Libero" id="wx174">spazio vettoriale libero</a> <i id="wx175">F</i> su <i id="wx176">V</i> × <i id="wx177">W</i>. Chiamiamo <i id="wx178">K</i> il sottospazio generato da tutti i vettori del tipo</p>

<dl id="wx179">
<dd id="wx180">
<p id="wx181">( α <i id="wx182">v</i><sub id="wx183">1</sub> + β <i id="wx184">v</i><sub id="wx185">2</sub>, <i id="wx186">w</i> ) - α ( <i id="wx187">v</i><sub id="wx188">1</sub>, <i id="wx189">w</i> ) - β ( <i id="wx190">v</i><sub id="wx191">2</sub>, <i id="wx192">w</i> )</p>
</dd>

<dd id="wx193">
<p id="wx194">( <i id="wx195">v</i>, α <i id="wx196">w</i><sub id="wx197">1</sub> + β <i id="wx198">w</i><sub id="wx199">1</sub> ) - α ( <i id="wx200">v</i>, <i id="wx201">w</i><sub id="wx202">1</sub> ) - β ( <i id="wx203">v</i>, <i id="wx204">w</i><sub id="wx205">2</sub> )</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx206">in modo da imporre le relazioni di bilinearità su <i id="wx207">F</i>. Allora ( <i id="wx208">F</i> / <i id="wx209">K</i> , π <sub id="wx210">º</sub> <i id="wx211">i</i> ), dove π è la proiezione canonica ed <i id="wx212">i</i> l'immersione di <i id="wx213">V</i> × <i id="wx214">W</i> in <i id="wx215">F</i>, soddifa le richieste ed è un prodotto tensoriale di <i id="wx216">V</i> e <i id="wx217">W</i>. La situazione può essere riassunta dal <a href="/wit/Diagramma_commutativo" title="Diagramma commutativo" wx:linktype="known" wx:pagename="Diagramma_commutativo" wx:page_id="1523045" id="wx218">diagramma commutativo</a></p>

<div class="wx_image" wx:align="center" id="wx219"><a href="/wit/Immagine:TesnsorProductConstruction.png" title="" wx:linktype="image" wx:pagename="Immagine:TesnsorProductConstruction.png" id="wx220"><img src="/wit/Immagine:TesnsorProductConstruction.png" alt="" id="wx221"/></a></div>

<p id="wx222">La dimostrazione è immediata, infatti la caratteristica dell'immersione nello spazio libero è che esiste un'unica estensione lineare <i id="wx223">s</i> di ρ su <i id="wx224">F</i>, e visto che il nucleo di <i id="wx225">s</i> contiente <i id="wx226">K</i> la proprietà della proiezione nello spazio quoziente ci da l'unica applicazione lineare <i id="wx227">f</i> per cui <i id="wx228">s</i> = <i id="wx229">f</i> <sub id="wx230">º</sub> π, cioè esiste un'unica <i id="wx231">f</i> tale che (chiamando ⊗ la funzione π <sub id="wx232">º</sub> <i id="wx233">i</i> )</p>

<dl id="wx234">
<dd id="wx235">
<p id="wx236">ρ ( <i id="wx237">v</i>, <i id="wx238">w</i> ) = <i id="wx239">s</i> <sub id="wx240">º</sub> <i id="wx241">i</i> ( <i id="wx242">v</i> , <i id="wx243">w</i> ) = f <sub id="wx244">º</sub> π <sub id="wx245">º</sub> <i id="wx246">i</i> ( <i id="wx247">v</i> , <i id="wx248">w</i> ) = f ( <i id="wx249">v</i> ⊗ <i id="wx250">w</i> ).</p>
</dd>
</dl>

<a id="Propriet.C3.A0" name="Propriet.C3.A0"/>
</wx:section></wx:section><wx:section level="2" title="Proprietà" id="wxsec3"><h2 id="wx251">Proprietà</h2>

<p id="wx252">Di seguito <i id="wx253">U</i>, <i id="wx254">V</i>, <i id="wx255">W</i> saranno spazi vettoriali su un campo <i id="wx256">k</i>, ed <i id="wx257">u</i>, <i id="wx258">v</i>, <i id="wx259">w</i> dei loro rispettivi elementi.</p>

<ul id="wx260">
<li id="wx261">
<p id="wx262">( <i id="wx263">U</i> ⊗ <i id="wx264">V</i> ) ⊗ <i id="wx265">W</i> ≅ <i id="wx266">U</i> ⊗ ( <i id="wx267">V</i> ⊗ <i id="wx268">W</i> ) con ( <i id="wx269">u</i> ⊗ <i id="wx270">v</i> ) ⊗ <i id="wx271">w</i> ↔ <i id="wx272">u</i> ⊗ ( <i id="wx273">v</i> ⊗ <i id="wx274">w</i> ). L'applicazione è ben definita perché è assegnato il valore ad un insieme di generatori. Fissiamo <i id="wx275">u</i>. Sia <i id="wx276">f</i><sub id="wx277">u</sub>: <i id="wx278">V</i> × <i id="wx279">W</i> → ( <i id="wx280">U</i> ⊗ <i id="wx281">V</i> ) ⊗ <i id="wx282">W</i> la funzione bilineare <i id="wx283">f</i><sub id="wx284">u</sub> ( <i id="wx285">v</i>, <i id="wx286">w</i> ) = ( <i id="wx287">u</i> ⊗ <i id="wx288">v</i> ) ⊗ <i id="wx289">w</i>. Se la fattorizziamo tramite il prodotto tensoriale (applichiamo la proprietà universale) abbiamo l'applicazione lineare φ<sub id="wx290">u</sub> : <i id="wx291">V</i> ⊗ <i id="wx292">W</i> → ( <i id="wx293">U</i> ⊗ <i id="wx294">V</i> ) ⊗ <i id="wx295">W</i> che manda <i id="wx296">v</i> ⊗ <i id="wx297">w</i> in ( <i id="wx298">u</i> ⊗ <i id="wx299">v</i> ) ⊗ <i id="wx300">w</i> . Anche la funzione <i id="wx301">U</i> × ( <i id="wx302">V</i> ⊗ <i id="wx303">W</i> ) → ( <i id="wx304">U</i> ⊗ <i id="wx305">V</i> ) ⊗ <i id="wx306">W</i> che manda ( <i id="wx307">u</i>, <i id="wx308">v</i> ⊗ <i id="wx309">w</i> ) in φ<sub id="wx310">u</sub> ( <i id="wx311">v</i> ⊗ <i id="wx312">w</i> ) è bilineare e fattorizzandola abbiamo l'omomorfismo voluto. Possiamo costruire in modo analogo l'inversa ottenendo l'isomorfismo.</p>
</li>

<li id="wx313"><i id="wx314">V</i>
<p id="wx315">⊗ <i id="wx316">W</i> ≅ <i id="wx317">W</i> ⊗ <i id="wx318">V</i> con <i id="wx319">v</i> ⊗ <i id="wx320">w</i> ↔ <i id="wx321">w</i> ⊗ <i id="wx322">v</i>. Basta fattorizzare tramite il prodotto tensoriale la funzione bilineare <i id="wx323">f</i> : <i id="wx324">V</i> × <i id="wx325">W</i> → <i id="wx326">W</i> ⊗ <i id="wx327">V</i> con <i id="wx328">f</i> ( <i id="wx329">v</i>, <i id="wx330">w</i> ) = <i id="wx331">w</i> ⊗ <i id="wx332">v</i>. In modo analogo possiamo ottenere l'inversa. <b id="wx333">Attenzione</b>: questo non vuole in alcun modo suggerire che in <i id="wx334">V</i> ⊗ <i id="wx335">W</i> i due vettori <i id="wx336">v</i> ⊗ <i id="wx337">w</i> e <i id="wx338">w</i> ⊗ <i id="wx339">v</i> sono uguali, semmai è vero il contrario.</p>
</li>

<li id="wx340"><i id="wx341">U</i>
<p id="wx342">⊗ ( <i id="wx343">V</i> ⊕ <i id="wx344">W</i> ) ≅ ( <i id="wx345">U</i> ⊗ <i id="wx346">V</i> ) ⊕ ( <i id="wx347">U</i> ⊗ <i id="wx348">W</i> ) con <i id="wx349">u</i> ⊗ ( <i id="wx350">v</i>, <i id="wx351">w</i> ) ↔ ( <i id="wx352">u</i> ⊗ <i id="wx353">v</i>, <i id="wx354">u</i> ⊗ <i id="wx355">w</i> ). Questa volta non conviene usare il tipo di dimostrazione dei casi precedenti perché non riusciremmo a costruire l'inversa. Dimostriamo allora che ogni prodotto su <i id="wx356">U</i> × ( <i id="wx357">V</i> ⊕ <i id="wx358">W</i> ) si fattorizza in modo unico tramite ( <i id="wx359">U</i> ⊗ <i id="wx360">V</i> ) ⊕ ( <i id="wx361">U</i> ⊗ <i id="wx362">W</i> ). L'applicazione φ tra <i id="wx363">U</i> × ( <i id="wx364">V</i> ⊕ <i id="wx365">W</i> ) e ( <i id="wx366">U</i> ⊗ <i id="wx367">V</i> ) ⊕ ( <i id="wx368">U</i> ⊗ <i id="wx369">W</i> ) che manda ( <i id="wx370">u</i>, ( <i id="wx371">v</i>, <i id="wx372">w</i> ) ) in ( <i id="wx373">u</i> ⊗ <i id="wx374">v</i>, <i id="wx375">u</i> ⊗ <i id="wx376">w</i> ) è bilineare. Se <i id="wx377">E</i> è uno spazio vettoriale e ψ un'applicazione bilineare da <i id="wx378">U</i> × ( <i id="wx379">V</i> ⊕ <i id="wx380">W</i> ) in <i id="wx381">E</i>, possiamo scrivere</p>

<dl id="wx382">
<dd id="wx383">
<p id="wx384">ψ ( <i id="wx385">u</i>, ( <i id="wx386">v</i>, <i id="wx387">w</i> ) ) = ψ ( <i id="wx388">u</i>, ( <i id="wx389">v</i>, 0 ) ) + ψ ( <i id="wx390">u</i>, ( 0, <i id="wx391">w</i> ) )</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx392">questo ci da la fattorizzazione tramite φ.</p>
</li>

<li id="wx393"><i id="wx394">k</i>
<p id="wx395">⊗ <i id="wx396">V</i> ≅ <i id="wx397">V</i> con α ⊗ <i id="wx398">v</i> ↔ α <i id="wx399">v</i>. Intuitivamente è quasi ovvio, formalmente dimostriamo che <i id="wx400">V</i> e la mappa bilineare φ : ( α, <i id="wx401">v</i> ) → α <i id="wx402">v</i> soddisfano la proprietà universale. Se ψ : <i id="wx403">k</i> × <i id="wx404">V</i> → <i id="wx405">W</i> è bilineare allora</p>

<dl id="wx406">
<dd id="wx407">
<p id="wx408">ψ ( α, <i id="wx409">v</i> ) = ψ ( 1, α <i id="wx410">v</i> ) = ψ ( 1, φ ( α, <i id="wx411">v</i> ) )</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx412">fattorizzando in modo unico ψ tramite φ.</p>
</li>

<li id="wx413"><i id="wx414">k</i> <sup id="wx415">n</sup>
<p id="wx416">⊗ <i id="wx417">V</i> ≅ <i id="wx418">V</i> <sup id="wx419">n</sup>. Segue dalle precedenti.</p>
</li>

<li id="wx420"><i id="wx421">k</i> <sup id="wx422">n</sup>
<p id="wx423">⊗ <i id="wx424">k</i> <sup id="wx425">m</sup> ≅ <i id="wx426">k</i> <sup id="wx427">nm</sup>. Segue dalle precedenti.</p>
</li>

<li id="wx428">
<p id="wx429">Se <i id="wx430">V</i> e <i id="wx431">W</i> hanno dimensione finita esiste un isomorfismo canonico <i id="wx432">V</i> * ⊗ <i id="wx433">W</i> * ≅ Bil ( <i id="wx434">V</i>, <i id="wx435">W</i>; <i id="wx436">k</i> ) che associa φ ⊗ ψ ad φ ⋅ ψ. Infatti la funzione <i id="wx437">f</i> ( φ, ψ ) = φ ⋅ ψ è bilineare, quindi possiamo fattorizzarla tramite il prodotto tensoriale per ottere un omorfismo che è surriettivo e quindi anche iniettivo perché i due spazi hanno la stessa dimensione.</p>
</li>
</ul>

<a id="Componenti" name="Componenti"/>
</wx:section><wx:section level="2" title="Componenti" id="wxsec4"><h2 id="wx438">Componenti</h2>

<a id="Basi_e_approccio_classico_ai_tensori" name="Basi_e_approccio_classico_ai_tensori"/>
<wx:section level="3" title="Basi e approccio classico ai tensori" id="wxsec12"><h3 id="wx439">Basi e approccio classico ai tensori</h3>

<wx:template id="wx_t1" pagename="Template:Vedi_anche" page_id="201597"/>
<table style="margin-bottom:.5em; border:1px solid #CCC; text-align:left; font-size:95%; background:#ffffff" id="wx440">
<tr id="wx441">
<td style="padding:0 .5em" id="wx442"><a href="/wit/Immagine:Exquisite-kfind.png" title="" wx:linktype="image" wx:pagename="Immagine:Exquisite-kfind.png" id="wx443"><img src="/wit/Immagine:Exquisite-kfind.png" alt="" width="20" id="wx444"/></a> </td>
<td style="width:100%" id="wx445"><i id="wx446">Per approfondire, vedi la voce <b id="wx447"><a href="/wit/Tensore" title="Tensore" wx:linktype="known" wx:pagename="Tensore" wx:page_id="80169" id="wx448">Tensore</a></b>.</i> </td>
</tr>
</table>

<wx:templateend start="wx_t1"/>
<p id="wx449">L'approccio universale per la definizione dei tensori è piuttosto recente. Classicamente si usava (e spesso si usa ancora nei corsi di fisica) una costruzione diversa legata alla scelta di basi per <i id="wx450">V</i> e <i id="wx451">W</i>. Per spazi a dimensione finita questa è equivalente a quella universale.</p>

<p id="wx452">Fissate in <i id="wx453">V</i> e <i id="wx454">W</i> delle basi, { <i id="wx455">v</i> <sub id="wx456">i</sub> } <sub id="wx457">i=1...n</sub> e { <i id="wx458">w</i> <sub id="wx459">j</sub> } <sub id="wx460">j=1...m</sub>, chiamiamo prodotto tensoriale lo <a href="/wit/Spazio_vettoriale#Spazio_Vettoriale_Libero" title="Spazio vettoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_vettoriale" wx:page_id="12132" wx:fragment="Spazio_Vettoriale_Libero" id="wx461">spazio vettoriale libero</a> generato dai simboli <i id="wx462">v</i> <sub id="wx463">i</sub> ⊗ <i id="wx464">w</i> <sub id="wx465">j</sub> ( in altre parole lo spazio vettoriale che ha come base tutti quegli <i id="wx466">m</i> <i id="wx467">n</i> simboli). Questo spazio viene anche chiamato spazio dei tensori controvarianti di secondo ordine.</p>

<p id="wx468">Ogni <i id="wx469">c</i> ∈ <i id="wx470">V</i> ⊗ <i id="wx471">W</i> è del tipo</p>

<dl id="wx472">
<dd id="wx473"><i id="wx474">c</i>
<p id="wx475">= ∑<sub id="wx476">i, j</sub> <i id="wx477">c</i><sup id="wx478">i j</sup> <i id="wx479">v</i> <sub id="wx480">i</sub> ⊗ <i id="wx481">w</i> <sub id="wx482">j</sub></p>
</dd>
</dl>

<p id="wx483">dove spesso si tralascia il simbolo di sommatoria adottando la convenzione di <a href="/wit/Einstein" title="Einstein" wx:linktype="known" wx:pagename="Einstein" wx:page_id="1118961" id="wx484">Einstein</a> (se un indice si trova sia ad apice che a pedice in una espressione allora di deve fare la sommatoria rispetto a quell'indice) e diventa</p>

<dl id="wx485">
<dd id="wx486"><i id="wx487">c</i>
<p id="wx488">= <i id="wx489">c</i><sup id="wx490">i j</sup> <i id="wx491">v</i> <sub id="wx492">i</sub> ⊗ <i id="wx493">w</i> <sub id="wx494">j</sub>.</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx495">Se la base è nota dal conteso (e purtroppo anche quando non lo è) si usa direttamente <i id="wx496">c</i><sup id="wx497">i j</sup> al posto di <i id="wx498">c</i> per indicare il tensore che ha come componenti <i id="wx499">c</i><sup id="wx500">i j</sup>.</p>

<p id="wx501">Se i due spazi sono duali viene tradizionalmente cambiata la posizione degli indici. Lo si fa per poter usare la notazione di Einstein nei calcoli che coinvolgono uno spazio e il suo duale senza fare confusione. In particolare se vogliamo fare il prodotto tensoriale di <i id="wx502">E</i> * con <i id="wx503">F</i> * con rispettive basi { ε <sup id="wx504">i</sup> } <sub id="wx505">i=1...n</sub> e { φ <sup id="wx506">j</sup> } <sub id="wx507">j=1...m</sub> (notare che adesso gli indici per i vettori, o sarebbe meglio dire covettori, sono in alto) allora in componenti indichiamo un tensore con</p>

<dl id="wx508">
<dd id="wx509"><i id="wx510">h</i>
<p id="wx511">= <i id="wx512">h</i> <sub id="wx513">i j</sub> ε <sup id="wx514">i</sup> ⊗ φ <sup id="wx515">j</sup>.</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx516">I tensori <i id="wx517">h</i> <sub id="wx518">i j</sub> sono detti covarianti di secondo ordine.</p>

<p id="wx519">Si trovano poi i tensori misti, ad esempio quelli dello spazio <i id="wx520">V</i> ⊗ <i id="wx521">V</i> * che, fissata la base { <i id="wx522">v</i> <sub id="wx523">i</sub> } <sub id="wx524">i=1...n</sub> in <i id="wx525">V</i> e la duale { ε <sup id="wx526">i</sup> } <sub id="wx527">i=1...n</sub> in <i id="wx528">V</i> *, assumono la forma</p>

<dl id="wx529">
<dd id="wx530"><i id="wx531">k</i>
<p id="wx532">= <i id="wx533">k</i><sub id="wx534">i</sub><sup id="wx535">j</sup> v <sub id="wx536">j</sub> ⊗ ε <sup id="wx537">i</sup></p>
</dd>
</dl>

<p id="wx538">Queste definizioni per componenti, oltre al problema di fondarsi su delle basi, generano spesso confusione quando il numero degli indici diventa troppo grande. Nonostante ciò, sono il mezzo più efficace nei calcoli.</p>

<a id="Equivalenza_con_la_definizione_universale" name="Equivalenza_con_la_definizione_universale"/>
</wx:section><wx:section level="3" title="Equivalenza con la definizione universale" id="wxsec13"><h3 id="wx539">Equivalenza con la definizione universale</h3>

<div class="wx_image" wx:align="right" id="wx540"><a href="/wit/Immagine:ClassicTensorDiagram.png" title="" wx:linktype="image" wx:pagename="Immagine:ClassicTensorDiagram.png" id="wx541"><img src="/wit/Immagine:ClassicTensorDiagram.png" alt="" id="wx542"/></a></div>

<p id="wx543">Il <i id="wx544">V</i> ⊗ <i id="wx545">W</i> definito fissando una base è un prodotto tensoriale in senso universale perché un'applicazione bilineare è determinata dal valore che assume sulle coppie di base ( <i id="wx546">v</i> <sub id="wx547">i</sub>, <i id="wx548">w</i> <sub id="wx549">j</sub> ), cioè una volta che sappiamo il valore della funzione su tutte le coppie degli elementi di base</p>

<dl id="wx550">
<dd id="wx551"><i id="wx552">V</i>
<p id="wx553">×<i id="wx554">W</i> ∋ ( <i id="wx555">v</i> <sub id="wx556">i</sub>, <i id="wx557">w</i> <sub id="wx558">j</sub> ) → <i id="wx559">v</i> <sub id="wx560">i</sub> ⋅ <i id="wx561">w</i> <sub id="wx562">j</sub> ∈ H</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx563">possiamo determinare quanto vale <i id="wx564">v</i> ⋅ <i id="wx565">w</i> per ogni coppia ( <i id="wx566">v</i>, <i id="wx567">w</i> ) (è un semplice teorema sulle funzioni bilneari per cui basta scrivere <i id="wx568">v</i> e <i id="wx569">w</i> in termini dei vettori di base ed espandere per bilinearità). Visto che { <i id="wx570">v</i> <sub id="wx571">i</sub> ⊗ <i id="wx572">w</i> <sub id="wx573">j</sub> } è una base per <i id="wx574">V</i> ⊗ <i id="wx575">W</i> esiste un'unica applicazione lineare <i id="wx576">f</i>: <i id="wx577">V</i> ⊗ <i id="wx578">W</i> → <i id="wx579">H</i> che manda</p>

<dl id="wx580">
<dd id="wx581"><i id="wx582">v</i> <sub id="wx583">i</sub>
<p id="wx584">⊗ <i id="wx585">w</i> <sub id="wx586">j</sub> → <i id="wx587">v</i> <sub id="wx588">i</sub> ⋅ <i id="wx589">w</i> <sub id="wx590">j</sub>,</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx591">e, per lo stesso motivo di prima esiste un'unica ⊗: <i id="wx592">V</i> × <i id="wx593">W</i> → <i id="wx594">V</i> ⊗ <i id="wx595">W</i> bilineare che manda (<i id="wx596">v</i> <sub id="wx597">i</sub>, <i id="wx598">w</i> <sub id="wx599">j</sub>) in <i id="wx600">v</i> <sub id="wx601">i</sub> ⊗ <i id="wx602">w</i> <sub id="wx603">j</sub>. Ovviamente ⋅ è la composizione di <i id="wx604">f</i> con ⊗.</p>

<a id="Cambiamento_di_base" name="Cambiamento_di_base"/>
</wx:section><wx:section level="3" title="Cambiamento di base" id="wxsec14"><h3 id="wx605">Cambiamento di base</h3>

<p id="wx606">Possiamo dire che un tensore è invariante rispetto al sistema di coordinate scelto. Questo è vero allo stesso modo in cui lo è dire che una matrice che rappresenta un'applicazione lineare è indipendente dalla base. Ci sono, cioè, delle leggi che regolano come devono cambiare le componenti, al fine di rappresentare sempre lo stesso tensore.</p>

<p id="wx607">Si trovano facilmente: consideriamo il prodotto <i id="wx608">E</i> ⊗ <i id="wx609">E</i> *, supponiamo di voler cambiare basi e da { <i id="wx610">e</i> <sub id="wx611">i</sub> } <sub id="wx612">i=1...n</sub>, { ε <sup id="wx613">j</sup> } <sub id="wx614">j=1...m</sub> ( la duale di { <i id="wx615">e</i> <sub id="wx616">i</sub> } ) passare ad { <i id="wx617">f</i> <sub id="wx618">k</sub> } <sub id="wx619">k=1...n</sub> e { φ <sup id="wx620">t</sup> } <sub id="wx621">t=1...m</sub> ( da notare che sono cambiati i nomi degli indici, cosa fondamentale per non fare confusione). La matrice di cambiamento di base da { <i id="wx622">e</i> <sub id="wx623">i</sub> } a { <i id="wx624">f</i> <sub id="wx625">k</sub> } sia <i id="wx626">L</i><sub id="wx627">i</sub><sup id="wx628">k</sup>, cioè</p>

<dl id="wx629">
<dd id="wx630"><i id="wx631">e</i> <sub id="wx632">i</sub>
<p id="wx633">= <i id="wx634">L</i><sub id="wx635">i</sub><sup id="wx636">k</sup> <i id="wx637">f</i> <sub id="wx638">k</sub></p>
</dd>
</dl>

<p id="wx639">la corrispondente <i id="wx640">K</i><sub id="wx641">t</sub><sup id="wx642">j</sup> che manda { ε <sup id="wx643">j</sup> } in { φ <sup id="wx644">t</sup> } deve essere l'inversa di <i id="wx645">L</i><sub id="wx646">i</sub><sup id="wx647">k</sup> perché</p>

<dl id="wx648">
<dd id="wx649">
<p id="wx650">φ <sup id="wx651">t</sup> ( e <sub id="wx652">i</sub> ) = <i id="wx653">L</i><sub id="wx654">i</sub><sup id="wx655">t</sup> ( cioè la componente t-esima di <i id="wx656">e</i> <sub id="wx657">i</sub> rispetto alla base { <i id="wx658">f</i> <sub id="wx659">k</sub> } )</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx660">e dalla relazione ε <sup id="wx661">j</sup> ( <i id="wx662">e</i> <sub id="wx663">i</sub> ) = δ<sub id="wx664">i</sub><sup id="wx665">j</sup> assieme a ε <sup id="wx666">j</sup> = <i id="wx667">K</i><sub id="wx668">t</sub><sup id="wx669">j</sup> φ <sup id="wx670">t</sup> segue</p>

<dl id="wx671">
<dd id="wx672"><i id="wx673">K</i><sub id="wx674">t</sub><sup id="wx675">j</sup>
<p id="wx676">φ <sup id="wx677">t</sup> ( <i id="wx678">e</i> <sub id="wx679">i</sub> ) = <i id="wx680">K</i><sub id="wx681">t</sub><sup id="wx682">j</sup> <i id="wx683">L</i><sub id="wx684">i</sub><sup id="wx685">t</sup> = δ<sub id="wx686">i</sub><sup id="wx687">j</sup></p>
</dd>
</dl>

<p id="wx688">cioè il prodotto <i id="wx689">K</i> <i id="wx690">L</i> è la matrice identica. Se <i id="wx691">c</i><sub id="wx692">j</sub><sup id="wx693">i</sup> è un tensore rispetto alla base { <i id="wx694">e</i> <sub id="wx695">i</sub> ⊗ ε <sup id="wx696">j</sup> } abbiamo</p>

<dl id="wx697">
<dd id="wx698"><i id="wx699">c</i><sub id="wx700">t</sub><sup id="wx701">k</sup>
<p id="wx702">= <i id="wx703">L</i><sub id="wx704">i</sub><sup id="wx705">k</sup> <i id="wx706">K</i><sub id="wx707">t</sub><sup id="wx708">j</sup> <i id="wx709">c</i><sub id="wx710">j</sub><sup id="wx711">i</sup></p>
</dd>
</dl>

<p id="wx712">come si può ottenere estendendo per bilinearità l'espressione</p>

<dl id="wx713">
<dd id="wx714"><i id="wx715">c</i><sub id="wx716">j</sub><sup id="wx717">i</sup> <i id="wx718">e</i> <sub id="wx719">i</sub>
<p id="wx720">⊗ ε <sup id="wx721">j</sup> = <i id="wx722">c</i><sub id="wx723">j</sub><sup id="wx724">i</sup> ( <i id="wx725">L</i><sub id="wx726">i</sub><sup id="wx727">k</sup> <i id="wx728">f</i> <sub id="wx729">k</sub> ) ⊗ ( <i id="wx730">K</i><sub id="wx731">t</sub><sup id="wx732">j</sup> φ <sup id="wx733">t</sup> ).</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx734">Si può applicare un ragionamento analogo a qualsiasi tensore.</p>

<a id="Forme_multilineari_e_geometria_differenziale" name="Forme_multilineari_e_geometria_differenziale"/>
</wx:section></wx:section><wx:section level="2" title="Forme multilineari e geometria differenziale" id="wxsec5"><h2 id="wx735">Forme multilineari e geometria differenziale</h2>

<wx:template id="wx_t2" pagename="Template:Vedi_anche" page_id="201597"/>
<table style="margin-bottom:.5em; border:1px solid #CCC; text-align:left; font-size:95%; background:#ffffff" id="wx736">
<tr id="wx737">
<td style="padding:0 .5em" id="wx738"><a href="/wit/Immagine:Exquisite-kfind.png" title="" wx:linktype="image" wx:pagename="Immagine:Exquisite-kfind.png" id="wx739"><img src="/wit/Immagine:Exquisite-kfind.png" alt="" width="20" id="wx740"/></a> </td>
<td style="width:100%" id="wx741"><i id="wx742">Per approfondire, vedi la voce <b id="wx743"><a href="/wit/Tensore" title="Tensore" wx:linktype="known" wx:pagename="Tensore" wx:page_id="80169" id="wx744">Tensore</a></b>.</i> </td>
</tr>
</table>

<wx:templateend start="wx_t2"/>
<p id="wx745">I tensori sono i mattoni di base della geometria differenziale, infatti concetti come <a href="/wit/Forma_differenziale" title="Forma differenziale" wx:linktype="known" wx:pagename="Forma_differenziale" wx:page_id="273420" id="wx746">forme differenziali</a> e <a href="/wit/Campo_vettoriale" title="Campo vettoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Campo_vettoriale" wx:page_id="66621" id="wx747">campi vettoriali</a> sono casi particolari di campi tensoriali, con cui ad ogni punto <i id="wx748">p</i> della varietà <i id="wx749">M</i> si associa un tensore di tipo (m, n) dello spazio tensoriale</p>

<dl id="wx750">
<dd id="wx751">
<p id="wx752">T <sub id="wx753"><i id="wx754">m</i>, <i id="wx755">n</i></sub><i id="wx756">M</i><sub id="wx757">p</sub> := T<sub id="wx758">p</sub><i id="wx759">M</i> ⊗ ... ⊗ T<sub id="wx760">p</sub><i id="wx761">M</i> ⊗ T<sub id="wx762">p</sub><i id="wx763">M</i> * ⊗ ... ⊗ T<sub id="wx764">p</sub><i id="wx765">M</i> *,    T<sub id="wx766">p</sub><i id="wx767">M</i> preso <i id="wx768">m</i> volte e T<sub id="wx769">p</sub><i id="wx770">M</i> * <i id="wx771">n</i> volte</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx772">Questi prodotti tensoriali hanno in alcuni casi delle interpretazioni geometriche naturali dopo aver fatto un'identificazione con lo spazio delle <a href="/wit/Forma_multilineare" title="Forma multilineare" wx:linktype="known" wx:pagename="Forma_multilineare" wx:page_id="1161155" id="wx773">forme multilineari</a>. Come detto <a href="/wit/Prodotto_tensoriale#Definizione" title="Prodotto tensoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Prodotto_tensoriale" wx:page_id="592106" wx:fragment="Definizione" id="wx774">sopra</a>, possiamo pensare ad un tensore di <i id="wx775">V</i> * ⊗ <i id="wx776">W</i> * come ad una forma bilineare su <i id="wx777">V</i> × <i id="wx778">W</i> tramite la mappa</p>

<dl id="wx779">
<dd id="wx780">
<p id="wx781">φ ⊗ ψ → φ ( · ) ψ ( · ),    estesa poi per linearità.</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx782">Analogamente, con l'identificazione canonica tra <i id="wx783">V</i> e <i id="wx784">V</i> **, possiamo pensare ad un tensore di T <sub id="wx785"><i id="wx786">m</i>, <i id="wx787">n</i></sub><i id="wx788">M</i><sub id="wx789">p</sub> come ad una forma multilineare su</p>

<dl id="wx790">
<dd id="wx791">
<p id="wx792">T<sub id="wx793">p</sub><i id="wx794">M</i> * × ... × T<sub id="wx795">p</sub><i id="wx796">M</i> * × T<sub id="wx797">p</sub><i id="wx798">M</i> × ... × T<sub id="wx799">p</sub><i id="wx800">M</i>,    T<sub id="wx801">p</sub><i id="wx802">M</i> * preso <i id="wx803">m</i> volte e T<sub id="wx804">p</sub><i id="wx805">M</i> <i id="wx806">n</i> volte.</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx807">Ad esempio T <sub id="wx808">0, 2</sub><i id="wx809">M</i><sub id="wx810">p</sub> si può interpretare come lo spazio delle forme bilineari sullo spazio tangente a <i id="wx811">p</i>. Un <a href="/wit/Campo_tensoriale" title="Campo tensoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Campo_tensoriale" wx:page_id="1263337" id="wx812">campo tensoriale</a> <i id="wx813">g</i> : <i id="wx814">M</i> → T <sub id="wx815">0, 2</sub><i id="wx816">M</i> che ad ogni punto associa un <a href="/wit/Prodotto_interno" title="Prodotto interno" wx:linktype="known" wx:pagename="Prodotto_interno" wx:page_id="322576" id="wx817">prodotto interno</a> (cioè una <a href="/wit/Forma_bilineare" title="Forma bilineare" wx:linktype="known" wx:pagename="Forma_bilineare" wx:page_id="264616" id="wx818">forma bilineare</a> simmetrica definita positiva) sul relativo <a href="/wit/Spazio_tangente" title="Spazio tangente" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_tangente" wx:page_id="703701" id="wx819">spazio tangente</a> viene chiamata <a href="/wit/Variet%C3%A0_riemanniana" title="Varietà riemanniana" wx:linktype="known" wx:pagename="Varietà_riemanniana" wx:page_id="1270570" id="wx820">metrica Riemanniana</a>. Questa permette di misurare la lunghezza e gli angoli tra vettori tangenti. In una varietà Riemanniana (cioè una varietà differenziale dotata di una metrica Riemanniana) le distanze e le aree hanno localmente un comportamento simile a quello di un normale spazio euclideo.</p>

<p id="wx821">Prendendo l'opportuno <a href="/wit/Spazio_vettoriale_quoziente" title="Spazio vettoriale quoziente" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_vettoriale_quoziente" wx:page_id="1736869" id="wx822">quoziente</a> Λ<sub id="wx823">n</sub><i id="wx824">M</i><sub id="wx825">p</sub> di T <sub id="wx826">0, n</sub><i id="wx827">M</i><sub id="wx828">p</sub> abbiamo lo spazio delle forme <i id="wx829">n</i> -lineari alternanti. Un campo a valori su Λ<sub id="wx830">n</sub><i id="wx831">M</i> è quella che comunemente chiamiamo <i id="wx832">n</i> -<a href="/wit/Forma_differenziale" title="Forma differenziale" wx:linktype="known" wx:pagename="Forma_differenziale" wx:page_id="273420" id="wx833">forma differenziale</a>.</p>

<a id="Prodotto_tensoriale_di_spazi_di_Hilbert" name="Prodotto_tensoriale_di_spazi_di_Hilbert"/>
</wx:section><wx:section level="2" title="Prodotto tensoriale di spazi di Hilbert" id="wxsec6"><h2 id="wx834">Prodotto tensoriale di spazi di Hilbert</h2>

<p id="wx835">Il prodotto tensoriale di due <a href="/wit/Spazio_di_Hilbert" title="Spazio di Hilbert" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_di_Hilbert" wx:page_id="66262" id="wx836">spazi di Hilbert</a> è un altro spazio di Hilbert, che è definito come descritto di seguito.</p>

<a id="Definizione_2" name="Definizione_2"/>
<wx:section level="3" title="Definizione" id="wxsec15"><h3 id="wx837">Definizione</h3>

<p id="wx838">Siano <i id="wx839">H</i> <sub id="wx840">1</sub> e <i id="wx841">H</i> <sub id="wx842">2</sub> due spazi di Hilbert con prodotti interni ( · , · ) <sub id="wx843">1</sub> e ( · , · ) <sub id="wx844">2</sub> rispettivamente. Si costruisca il prodotto tensoriale <i id="wx845">H</i> <sub id="wx846">1</sub> ⊗ <i id="wx847">H</i> <sub id="wx848">2</sub> di spazi vettoriali come spiegato sopra. Si può dotare questo prodotto tensore di spazi vettoriali di un <a href="/wit/Prodotto_interno" title="Prodotto interno" wx:linktype="known" wx:pagename="Prodotto_interno" wx:page_id="322576" id="wx849">prodotto interno</a> definendo</p>

<dl id="wx850">
<dd id="wx851">
<p id="wx852">( φ <sub id="wx853">1</sub> ⊗ φ <sub id="wx854">2</sub> , ψ <sub id="wx855">1</sub> ⊗ ψ <sub id="wx856">2</sub> ) := ( φ <sub id="wx857">1</sub> , ψ <sub id="wx858">1</sub> ) <sub id="wx859">1</sub> · ( φ <sub id="wx860">2</sub> , ψ <sub id="wx861">2</sub> ) <sub id="wx862">2</sub> dove φ <sub id="wx863">1</sub>, ψ <sub id="wx864">1</sub> ∈ H <sub id="wx865">1</sub> mentre φ <sub id="wx866">2</sub>, ψ <sub id="wx867">2</sub> ∈ H <sub id="wx868">2</sub></p>
</dd>
</dl>

<p id="wx869">ed estenderlo per linarità. Infine, si prenda il <a href="/wit/Spazio_completo#Completamento" title="Spazio completo" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_completo" wx:page_id="66268" wx:fragment="Completamento" id="wx870">completamento</a> rispetto a questo prodotto interno. Il risultato è il prodotto tensore di  <i id="wx871">H</i><sub id="wx872">1</sub> e <i id="wx873">H</i><sub id="wx874">2</sub> come spazi di Hilbert.</p>

<a id="Propriet.C3.A0_2" name="Propriet.C3.A0_2"/>
</wx:section><wx:section level="3" title="Proprietà" id="wxsec16"><h3 id="wx875">Proprietà</h3>

<p id="wx876">Se <i id="wx877">H</i> <sub id="wx878">1</sub> e <i id="wx879">H</i> <sub id="wx880">2</sub> hanno come <a href="/wit/Base_ortonormale" title="Base ortonormale" wx:linktype="known" wx:pagename="Base_ortonormale" wx:page_id="59049" id="wx881">base ortonormale</a> { φ <sub id="wx882"><i id="wx883">k</i></sub> } e { ψ <sub id="wx884"><i id="wx885">l</i></sub> }, rispettivamente, allora { φ <sub id="wx886"><i id="wx887">k</i></sub> ⊗ ψ <sub id="wx888"><i id="wx889">l</i></sub> } è una base ortonormale per <i id="wx890">H</i> <sub id="wx891">1</sub> ⊗ <i id="wx892">H</i> <sub id="wx893">2</sub>.</p>

<a id="Esempi_ed_applicazioni" name="Esempi_ed_applicazioni"/>
</wx:section><wx:section level="3" title="Esempi ed applicazioni" id="wxsec17"><h3 id="wx894">Esempi ed applicazioni</h3>

<p id="wx895">I seguenti esempi mostrano come i prodotti tensori emergano naturalmente.</p>

<p id="wx896">Assegnati due <a href="/wit/Spazio_di_misura" title="Spazio di misura" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_di_misura" wx:page_id="426123" id="wx897">spazi di misura</a> <i id="wx898">X</i> e <i id="wx899">Y</i>, con misure μ e ν rispettivamente, si può studiare <a href="/wit/Spazio_Lp" title="Spazio Lp" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_Lp" wx:page_id="403092" id="wx900">L</a> <sup id="wx901">2</sup> ( <i id="wx902">X</i> × <i id="wx903">Y</i> ), lo spazio delle funzioni su <i id="wx904">X</i> × <i id="wx905">Y</i> che sono a quadrato sommabili rispetto alla misura prodotto μ × ν. Se <i id="wx906">f</i> e <i id="wx907">g</i> sono funzioni a quadrato sommabili su <i id="wx908">X</i> ed <i id="wx909">Y</i> rispettivamente, si può definire una funzione <i id="wx910">h</i> su <i id="wx911">X</i> × <i id="wx912">Y</i> ponendo <i id="wx913">h</i> ( <i id="wx914">x</i> , <i id="wx915">y</i> ) = <i id="wx916">f</i> ( <i id="wx917">x</i> ) <i id="wx918">g</i> ( <i id="wx919">y</i> ). La definizione della misura prodotto assicura che tutte le funzioni con questa forma sono a quadrato sommabili, cosicché <i id="wx920">h</i> definisce una mappa <a href="/wit/Bilineare" title="Bilineare" wx:linktype="known" wx:pagename="Bilineare" wx:page_id="1155293" id="wx921">bilineare</a> L <sup id="wx922">2</sup> ( <i id="wx923">X</i> ) × L <sup id="wx924">2</sup>( <i id="wx925">Y</i> ) → L <sup id="wx926">2</sup> ( <i id="wx927">X</i> × <i id="wx928">Y</i> ).</p>

<p id="wx929">Anche le <a href="/wit/Combinazione_lineare" title="Combinazione lineare" wx:linktype="known" wx:pagename="Combinazione_lineare" wx:page_id="238315" id="wx930">combinazioni lineari</a> di funzioni della forma <i id="wx931">f</i> ( <i id="wx932">x</i> ) <i id="wx933">g</i> ( <i id="wx934">y</i> ) appartengono a L <sup id="wx935">2</sup> ( <i id="wx936">X</i> × <i id="wx937">Y</i> ). Risulta infatti che l'insieme delle combinazioni lineari è denso in L <sup id="wx938">2</sup> ( <i id="wx939">X</i> × <i id="wx940">Y</i> ), se L <sup id="wx941">2</sup> ( <i id="wx942">X</i> ) e L <sup id="wx943">2</sup>( <i id="wx944">Y</i> ) sono separabili. Questo mostra che L <sup id="wx945">2</sup> ( <i id="wx946">X</i> ) ⊗ L <sup id="wx947">2</sup> ( <i id="wx948">Y</i> ) è <a href="/wit/Isomorfismo" title="Isomorfismo" wx:linktype="known" wx:pagename="Isomorfismo" wx:page_id="207995" id="wx949">isomorfo</a> a L <sup id="wx950">2</sup> ( <i id="wx951">X</i> × <i id="wx952">Y</i> ), e spiega perché si debba prendere il completamento nella costruzione del prodotto tensore fra spazi di Hilbert.</p>

<p id="wx953">Analogamente, si può mostrare che L <sup id="wx954">2</sup> ( <i id="wx955">X</i> ; <i id="wx956">H</i> ), lo spazio delle funzioni a quadrato sommabili <i id="wx957">X</i> → <i id="wx958">H</i>, è isomorfo a L <sup id="wx959">2</sup> ( <i id="wx960">X</i> ) ⊗ <i id="wx961">H</i> se lo spazio è separabile. L'isomorfismo manda <i id="wx962">f</i> ( <i id="wx963">x</i> ) ⊗ φ ∈ L <sup id="wx964">2</sup> ( <i id="wx965">X</i> ) ⊗ <i id="wx966">H</i> in <i id="wx967">f</i> ( <i id="wx968">x</i> ) φ ∈ L <sup id="wx969">2</sup> ( <i id="wx970">X</i> ; <i id="wx971">H</i> ). Possiamo combinare ciò con il precedente esempio e concludere che L <sup id="wx972">2</sup> ( <i id="wx973">X</i> ) ⊗ L <sup id="wx974">2</sup> ( <i id="wx975">Y</i> ) e L <sup id="wx976">2</sup> ( <i id="wx977">X</i> × <i id="wx978">Y</i> ) sono entrambi isomorfi a L <sup id="wx979">2</sup> ( <i id="wx980">X</i> ; L<sup id="wx981">2</sup> (<i id="wx982">Y</i>) ).</p>

<p id="wx983">Il prodotto tensore di spazi di Hilbert ricorre nella <a href="/wit/Meccanica_quantistica" title="Meccanica quantistica" wx:linktype="known" wx:pagename="Meccanica_quantistica" wx:page_id="2838" id="wx984">meccanica quantistica</a>. Se una particella è descritta dallo spazio di Hilbert <i id="wx985">H</i> <sub id="wx986">1</sub>, ed un'altra particella da <i id="wx987">H</i> <sub id="wx988">2</sub>, allora il sistema composto dalle due particelle è descritto dal prodotto di <i id="wx989">H</i> <sub id="wx990">1</sub> e <i id="wx991">H</i> <sub id="wx992">2</sub>. Per esempio, lo spazio necessario a descrivere un <a href="/wit/Oscillatore_armonico" title="Oscillatore armonico" wx:linktype="known" wx:pagename="Oscillatore_armonico" wx:page_id="112010" id="wx993">oscillatore armonico</a> quantistico è L <sup id="wx994">2</sup> ( <b id="wx995">R</b> ), e per descrivere due oscillattori armonici si userà L <sup id="wx996">2</sup> ( <b id="wx997">R</b> ) ⊗ L <sup id="wx998">2</sup> ( <b id="wx999">R</b> ), che è isomorfo a L <sup id="wx1000">2</sup> ( <b id="wx1001">R</b><sup id="wx1002">2</sup> ). Quindi il sistema a due particelle è associato ad una funzione d'onda della forma φ ( <i id="wx1003">x</i><sub id="wx1004">1</sub>, <i id="wx1005">x</i><sub id="wx1006">2</sub> ). Un esempio più generale è fornito dagli <a href="/wit/Spazio_di_Fock" title="Spazio di Fock" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_di_Fock" wx:page_id="1785304" id="wx1007">spazi di Fock</a>, che descrivono un sistema con un numero variabile di particelle.</p>

<a id="Prodotto_tensoriale_di_moduli" name="Prodotto_tensoriale_di_moduli"/>
</wx:section></wx:section><wx:section level="2" title="Prodotto tensoriale di moduli" id="wxsec7"><h2 id="wx1008">Prodotto tensoriale di moduli</h2>

<p id="wx1009">Possiamo estendere la definizione di prodotto tensoriale anche ai <a href="/wit/Modulo_%28struttura%29" title="Modulo (struttura)" wx:linktype="known" wx:pagename="Modulo_(struttura)" wx:page_id="63266" id="wx1010">moduli</a>. Se <i id="wx1011">R</i> è un <a href="/wit/Anello" title="Anello" wx:linktype="known" wx:pagename="Anello" wx:page_id="33542" id="wx1012">anello</a> commutativo la costruzione per due <i id="wx1013">R</i>-moduli <i id="wx1014">M</i>, <i id="wx1015">N</i> è praticamente identica a quella per gli <a href="/wit/Spazio_vettoriale" title="Spazio vettoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_vettoriale" wx:page_id="12132" id="wx1016">spazi vettoriali</a>. Se invece <i id="wx1017">R</i> non è commutativo ma <i id="wx1018">M</i> (risp. <i id="wx1019">N</i>) è un ( <i id="wx1020">S</i>, <i id="wx1021">R</i> )-bimodulo (risp. ( <i id="wx1022">R</i>, <i id="wx1023">S</i> )) allora si può aggiustare la costruzione ed il prodotto tensoriale risulta essere un <i id="wx1024">S</i>-modulo destro (risp. sinistro). In generale quando <i id="wx1025">R</i> non è commutativo ed <i id="wx1026">M</i>, <i id="wx1027">N</i> sono due <i id="wx1028">R</i>-moduli possiamo pretendere solamente la struttura di gruppo abeliano su <i id="wx1029">M</i> ⊗<sub id="wx1030"><i id="wx1031">R</i></sub> <i id="wx1032">N</i>.</p>

<p id="wx1033">Anche se <i id="wx1034">R</i> è commutativo può succedere che ci siano dei collassamenti nel prodotto tensoriale fra moduli. Prendiamo ad esempio <b id="wx1035">Z</b> / ( <i id="wx1036">m</i> ) e <b id="wx1037">Z</b> / ( <i id="wx1038">n</i> ) come <b id="wx1039">Z</b>-moduli con <i id="wx1040">m</i>, <i id="wx1041">n</i> <a href="/wit/Coprimo" title="Coprimo" wx:linktype="known" wx:pagename="Coprimo" wx:page_id="273253" id="wx1042">coprimi</a>. Visto che possiamo scrivere l'unità come combinazione lineare di <i id="wx1043">n</i> ed <i id="wx1044">m</i></p>

<dl id="wx1045">
<dd id="wx1046">
<p id="wx1047">1 = λ <i id="wx1048">m</i> + μ <i id="wx1049">n</i></p>
</dd>
</dl>

<p id="wx1050">abbiamo il solito trucchetto</p>

<dl id="wx1051">
<dd id="wx1052"><i id="wx1053">x</i>
<p id="wx1054">⊗ <i id="wx1055">y</i> = ( λ <i id="wx1056">m</i> + μ <i id="wx1057">n</i> ) <i id="wx1058">x</i> ⊗ <i id="wx1059">y</i> = λ ( <i id="wx1060">m</i> <i id="wx1061">x</i> ) ⊗ y + μ <i id="wx1062">x</i> ⊗ ( <i id="wx1063">n</i> <i id="wx1064">y</i> ) = 0</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx1065">e siccome <b id="wx1066">Z</b> / ( <i id="wx1067">m</i> ) ⊗ <b id="wx1068">Z</b> / ( <i id="wx1069">n</i> ) è generato dagli elementi <i id="wx1070">x</i> ⊗ <i id="wx1071">y</i> concludiamo che <b id="wx1072">Z</b> / ( <i id="wx1073">m</i> ) ⊗ <b id="wx1074">Z</b> / ( <i id="wx1075">n</i> ) = 0</p>

<a id="Linguaggi_di_programmazione_vettoriali" name="Linguaggi_di_programmazione_vettoriali"/>
</wx:section><wx:section level="2" title="Linguaggi di programmazione vettoriali" id="wxsec8"><h2 id="wx1076">Linguaggi di programmazione vettoriali</h2>

<p id="wx1077">I linguaggi di programmazione possono avere questa applicazione predefinita. Ad esempio, in <a href="/wit/Linguaggio_di_programmazione_APL" class="new" title="Linguaggio di programmazione APL" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Linguaggio_di_programmazione_APL" id="wx1078">APL</a> il prodotto tensore è espresso come "o.x":</p>

<dl id="wx1079">
<dd id="wx1080"><i id="wx1081">A</i>
<p id="wx1082">o.x <i id="wx1083">B</i> oppure <i id="wx1084">A</i> o.x <i id="wx1085">B</i> o.x C.</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx1086">In <a href="/wit/Linguaggio_di_programmazione_J" class="new" title="Linguaggio di programmazione J" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Linguaggio_di_programmazione_J" id="wx1087">J</a> il prodotto tensore è la forma diadica "*/"; per esempio</p>

<dl id="wx1088">
<dd id="wx1089"><i id="wx1090">a</i>
<p id="wx1091">*/ <i id="wx1092">b</i> oppure <i id="wx1093">a</i> */ <i id="wx1094">b</i> */ <i id="wx1095">c</i>.</p>
</dd>
</dl>

<p id="wx1096">Si noti che il trattamento con J permette la rappresentazione di alcuni campi tensoriali (così <b id="wx1097">a</b> e <b id="wx1098">b</b> possono essere funzioni invece che costanti -- il risultato è allora una funzione derivata, e se <b id="wx1099">a</b> e <b id="wx1100">b</b> sono <a href="/wit/Differenziabile" title="Differenziabile" wx:linktype="known" wx:pagename="Differenziabile" wx:page_id="542843" id="wx1101">differenziabili</a> allora anche <b id="wx1102">a*/b</b> è differenziabile).</p>

<p id="wx1103">Comunque questo tipo di notazione non è universalmente presente nei linguaggi per la manipolazione di vettori. Alcuni linguaggi richiedono l'esplicito trattamento degli indici (per esempio, <a href="/wit/Matlab" title="Matlab" wx:linktype="known" wx:pagename="Matlab" wx:page_id="137875" id="wx1104">Matlab</a>) e possono supportare o meno funzioni di ordine più elevato come lo <a href="/wit/Jacobiano" title="Jacobiano" wx:linktype="known" wx:pagename="Jacobiano" wx:page_id="111163" id="wx1105">jacobiano</a> (per esempio, <a href="/wit/Fortran" title="Fortran" wx:linktype="known" wx:pagename="Fortran" wx:page_id="1897" id="wx1106">Fortran</a>/APL).</p>

<a id="Bibliografia" name="Bibliografia"/>
</wx:section><wx:section level="2" title="Bibliografia" id="wxsec9"><h2 id="wx1107">Bibliografia</h2>

<ul id="wx1108">
<li id="wx1109"><wx:template id="wx_t3" pagename="Template:En" page_id="121878"/>
<p id="wx1110">(<span style="font-weight:bolder; font-size:80%" id="wx1111"><a href="/wit/Lingua_inglese" title="Lingua inglese" wx:linktype="known" wx:pagename="Lingua_inglese" wx:page_id="2523" id="wx1112">EN</a></span>) <wx:templateend start="wx_t3"/> C. T. J. Dodson, Tim Poston (1991): <i id="wx1113">Tensor Geometry. The Geometric Viewpoint and its Use</i>, 2nd ed., Springer, <a href="/wit/index.php?title=Speciale:Booksources&amp;isbn=354052018X" class="internal" id="wx1114">ISBN 3-540-52018-X</a></p>
</li>
</ul>

<p id="wx1115">In relazione alla <a href="/wit/Geometria_differenziale" title="Geometria differenziale" wx:linktype="known" wx:pagename="Geometria_differenziale" wx:page_id="506111" id="wx1116">geometria differenziale</a>:</p>

<ul id="wx1117">
<li id="wx1118"><wx:template id="wx_t4" pagename="Template:En" page_id="121878"/>
<p id="wx1119">(<span style="font-weight:bolder; font-size:80%" id="wx1120"><a href="/wit/Lingua_inglese" title="Lingua inglese" wx:linktype="known" wx:pagename="Lingua_inglese" wx:page_id="2523" id="wx1121">EN</a></span>) <wx:templateend start="wx_t4"/> <wx:template id="wx_t5" pagename="Template:Cita_libro" page_id="462037"/><cite id="CITEREF" class="book" style="font-style:normal">John Lee. <i id="wx1122">Introduction to Smooth Manifolds</i>. Springer, 2002.</cite> <wx:templateend start="wx_t5"/> - Copre tutti i risultati fondamentali in modo dettagliato. L'autore si impegna molto per dare anche una visione intuitiva e motivata dell'argomento.</p>
</li>

<li id="wx1123"><wx:template id="wx_t6" pagename="Template:En" page_id="121878"/>
<p id="wx1124">(<span style="font-weight:bolder; font-size:80%" id="wx1125"><a href="/wit/Lingua_inglese" title="Lingua inglese" wx:linktype="known" wx:pagename="Lingua_inglese" wx:page_id="2523" id="wx1126">EN</a></span>) <wx:templateend start="wx_t6"/> <wx:template id="wx_t7" pagename="Template:Cita_libro" page_id="462037"/><cite id="CITEREF_1" class="book" style="font-style:normal">James Munkres. <i id="wx1127">Analysis on Manifolds</i>. Westview Press, 1990.</cite> <wx:templateend start="wx_t7"/> - Semplice da seguire, scritto molto bene (quasi come <i id="wx1128">Topology</i>, dello stesso autore). Tratta solo <a href="/wit/Variet%C3%A0_differenziabile" title="Varietà differenziabile" wx:linktype="known" wx:pagename="Varietà_differenziabile" wx:page_id="40878" id="wx1129">varietà</a> in ambiente reale. Gli unici prerequisiti sono <a href="/wit/Algebra_lineare" title="Algebra lineare" wx:linktype="known" wx:pagename="Algebra_lineare" wx:page_id="160989" id="wx1130">algebra lineare</a> di base e <a href="/wit/Calcolo_differenziale" title="Calcolo differenziale" wx:linktype="known" wx:pagename="Calcolo_differenziale" wx:page_id="603469" id="wx1131">calcolo</a> in più variabili (non è essenziale ma aiuta).</p>
</li>

<li id="wx1132"><wx:template id="wx_t8" pagename="Template:En" page_id="121878"/>
<p id="wx1133">(<span style="font-weight:bolder; font-size:80%" id="wx1134"><a href="/wit/Lingua_inglese" title="Lingua inglese" wx:linktype="known" wx:pagename="Lingua_inglese" wx:page_id="2523" id="wx1135">EN</a></span>) <wx:templateend start="wx_t8"/> <wx:template id="wx_t9" pagename="Template:Cita_libro" page_id="462037"/><cite id="CITEREF_2" class="book" style="font-style:normal">Richard Bishop; Samuel Goldberg. <i id="wx1136">Tensor Analysis on Manifolds</i>. Dover, 1980.</cite> <wx:templateend start="wx_t9"/> - Tratta più cose rispetto al Lee (<a href="/wit/Variet%C3%A0_riemanniana" title="Varietà riemanniana" wx:linktype="known" wx:pagename="Varietà_riemanniana" wx:page_id="1270570" id="wx1137">varietà riemanniane</a> e applicazioni fisiche), è scorrevole e chiaro, ma decisamente più sintetico e con meno esrcizi.</p>
</li>
</ul>

<p id="wx1138">Per un punto di vista algebrico:</p>

<ul id="wx1139">
<li id="wx1140"><wx:template id="wx_t10" pagename="Template:En" page_id="121878"/>
<p id="wx1141">(<span style="font-weight:bolder; font-size:80%" id="wx1142"><a href="/wit/Lingua_inglese" title="Lingua inglese" wx:linktype="known" wx:pagename="Lingua_inglese" wx:page_id="2523" id="wx1143">EN</a></span>) <wx:templateend start="wx_t10"/> <wx:template id="wx_t11" pagename="Template:Cita_libro" page_id="462037"/><cite id="CITEREF_3" class="book" style="font-style:normal">Serge Lang. <i id="wx1144">Algebra</i>. Springer, 2005.</cite> <wx:templateend start="wx_t11"/> - Una classica introduzione all'algebra a livello di laurea specialistica. Si parla di prodotto tensoriale tra spazi vettoriali da una prospettiva algebrica (universale), prerequisito fondamentale per trattare argomenti come l'<a href="/wit/Algebra_commutativa" title="Algebra commutativa" wx:linktype="known" wx:pagename="Algebra_commutativa" wx:page_id="12084" id="wx1145">algebra commutativa</a> e la <a href="/wit/Geometria_algebrica" title="Geometria algebrica" wx:linktype="known" wx:pagename="Geometria_algebrica" wx:page_id="12004" id="wx1146">geometria algebrica</a>.</p>
</li>

<li id="wx1147"><wx:template id="wx_t12" pagename="Template:En" page_id="121878"/>
<p id="wx1148">(<span style="font-weight:bolder; font-size:80%" id="wx1149"><a href="/wit/Lingua_inglese" title="Lingua inglese" wx:linktype="known" wx:pagename="Lingua_inglese" wx:page_id="2523" id="wx1150">EN</a></span>) <wx:templateend start="wx_t12"/> <wx:template id="wx_t13" pagename="Template:Cita_libro" page_id="462037"/><cite id="CITEREF_4" class="book" style="font-style:normal">Paul Moritz Cohn. <i id="wx1151">Basic Algebra</i>. Springer, 2003.</cite> <wx:templateend start="wx_t13"/>
</p>
</li>

<li id="wx1152"><wx:template id="wx_t14" pagename="Template:En" page_id="121878"/>
<p id="wx1153">(<span style="font-weight:bolder; font-size:80%" id="wx1154"><a href="/wit/Lingua_inglese" title="Lingua inglese" wx:linktype="known" wx:pagename="Lingua_inglese" wx:page_id="2523" id="wx1155">EN</a></span>) <wx:templateend start="wx_t14"/> <wx:template id="wx_t15" pagename="Template:Cita_libro" page_id="462037"/><cite id="CITEREF_5" class="book" style="font-style:normal">Saunders Mac Lane; Garrett Birkhoff. <i id="wx1156">Algebra</i>. AMS Chelsea, 1999.</cite> <wx:templateend start="wx_t15"/> - Altro classico, scritto da due matematici che hanno dato contributi importanti in geometria.</p>
</li>
</ul>

<a id="Voci_correlate" name="Voci_correlate"/>
</wx:section><wx:section level="2" title="Voci correlate" id="wxsec10"><h2 id="wx1157">Voci correlate</h2>

<ul id="wx1158">
<li id="wx1159"><a href="/wit/Prodotto_di_Kronecker" title="Prodotto di Kronecker" wx:linktype="known" wx:pagename="Prodotto_di_Kronecker" wx:page_id="462164" id="wx1160">Prodotto di Kronecker</a></li>

<li id="wx1161"><a href="/wit/Tensore" title="Tensore" wx:linktype="known" wx:pagename="Tensore" wx:page_id="80169" id="wx1162">Tensore</a></li>

<li id="wx1163"><a href="/wit/Calcolo_tensoriale" title="Calcolo tensoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Calcolo_tensoriale" wx:page_id="80319" id="wx1164">Calcolo tensoriale</a></li>

<li id="wx1165"><a href="/wit/Tensore_stress-energia" title="Tensore stress-energia" wx:linktype="known" wx:pagename="Tensore_stress-energia" wx:page_id="152451" id="wx1166">Tensore stress-energia</a></li>

<li id="wx1167"><a href="/wit/Momento_di_inerzia" title="Momento di inerzia" wx:linktype="known" wx:pagename="Momento_di_inerzia" wx:page_id="78633" id="wx1168">Momento di inerzia</a></li>

<li id="wx1169"><a href="/wit/Teoria_della_relativit%C3%A0_generale" title="Teoria della relatività generale" wx:linktype="known" wx:pagename="Teoria_della_relatività_generale" wx:page_id="18631" id="wx1170">Teoria della relatività generale</a></li>

<li id="wx1171"><a href="/wit/Testi_sul_calcolo_tensoriale" title="Testi sul calcolo tensoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Testi_sul_calcolo_tensoriale" wx:page_id="218446" id="wx1172">Testi sul calcolo tensoriale</a></li>
</ul>

<wx:template id="wx_t16" pagename="Template:Algebra" page_id="416340"/>
<div class="NavFrame noprint" style="background:#fff" id="wx1173">
<div class="NavHead" style="background:pink" id="wx1174"><b id="wx1175"><a href="/wit/Algebra" title="Algebra" wx:linktype="known" wx:pagename="Algebra" wx:page_id="1539729" id="wx1176"><span style="color:black" id="wx1177">Algebra</span></a></b></div>

<div class="NavContent" style="text-align:left; font-size:95%" id="wx1178">
<table id="wx1179">
<tr id="wx1180">
<td id="wx1181">
<div class="wx_image" wx:align="left" id="wx1182"><a href="/wit/Immagine:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg" title="" wx:linktype="image" wx:pagename="Immagine:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg" id="wx1183"><img src="/wit/Immagine:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg" alt="" width="58" id="wx1184"/></a></div>
</td>
<td id="wx1185"><b id="wx1186"><a href="/wit/Numero_%28matematica%29" title="Numero (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Numero_(matematica)" wx:page_id="10998" id="wx1187">Numeri</a></b>
<p id="wx1188">: <small id="wx1189"><a href="/wit/Numero_naturale" title="Numero naturale" wx:linktype="known" wx:pagename="Numero_naturale" wx:page_id="23233" id="wx1190">Naturale</a> · <a href="/wit/Numero_intero" title="Numero intero" wx:linktype="known" wx:pagename="Numero_intero" wx:page_id="23289" id="wx1191">Intero</a> · <a href="/wit/Numero_razionale" title="Numero razionale" wx:linktype="known" wx:pagename="Numero_razionale" wx:page_id="23290" id="wx1192">Razionale</a> · <a href="/wit/Numero_algebrico" title="Numero algebrico" wx:linktype="known" wx:pagename="Numero_algebrico" wx:page_id="39712" id="wx1193">Algebrico</a> · <a href="/wit/Numero_trascendente" title="Numero trascendente" wx:linktype="known" wx:pagename="Numero_trascendente" wx:page_id="39715" id="wx1194">Trascendente</a> · <a href="/wit/Numero_reale" title="Numero reale" wx:linktype="known" wx:pagename="Numero_reale" wx:page_id="23403" id="wx1195">Reale</a> · <a href="/wit/Numero_complesso" title="Numero complesso" wx:linktype="known" wx:pagename="Numero_complesso" wx:page_id="23432" id="wx1196">Complesso</a></small><br id="wx1197"/>
</p>

<p id="wx1198"><b id="wx1199"><a href="/wit/Algebra_elementare" title="Algebra elementare" wx:linktype="known" wx:pagename="Algebra_elementare" wx:page_id="42040" id="wx1200">Algebra elementare</a></b>: <small id="wx1201"><a href="/wit/Numero_primo" title="Numero primo" wx:linktype="known" wx:pagename="Numero_primo" wx:page_id="1369296" id="wx1202">Numero primo</a> · <a href="/wit/Massimo_comun_divisore" title="Massimo comun divisore" wx:linktype="known" wx:pagename="Massimo_comun_divisore" wx:page_id="103657" id="wx1203">MCD</a> · <a href="/wit/Minimo_comune_multiplo" title="Minimo comune multiplo" wx:linktype="known" wx:pagename="Minimo_comune_multiplo" wx:page_id="16259" id="wx1204">mcm</a> · <a href="/wit/Algoritmo_di_Euclide" title="Algoritmo di Euclide" wx:linktype="known" wx:pagename="Algoritmo_di_Euclide" wx:page_id="131343" id="wx1205">Algoritmo di Euclide</a> · <a href="/wit/Equazione" title="Equazione" wx:linktype="known" wx:pagename="Equazione" wx:page_id="37746" id="wx1206">Equazione</a> · <a href="/wit/Disequazione" title="Disequazione" wx:linktype="known" wx:pagename="Disequazione" wx:page_id="110323" id="wx1207">Disequazione</a> · <a href="/wit/Polinomio" title="Polinomio" wx:linktype="known" wx:pagename="Polinomio" wx:page_id="3558" id="wx1208">Polinomio</a> · <a href="/wit/Aritmetica_modulare" title="Aritmetica modulare" wx:linktype="known" wx:pagename="Aritmetica_modulare" wx:page_id="322141" id="wx1209">Aritmetica modulare</a></small><br id="wx1210"/>
 <b id="wx1211"><a href="/wit/Teoria_dei_gruppi" title="Teoria dei gruppi" wx:linktype="known" wx:pagename="Teoria_dei_gruppi" wx:page_id="85128" id="wx1212">Teoria dei gruppi</a></b>: <small id="wx1213"><a href="/wit/Gruppo_%28matematica%29" title="Gruppo (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Gruppo_(matematica)" wx:page_id="34052" id="wx1214">Gruppo</a> (<a href="/wit/Gruppo_finito" title="Gruppo finito" wx:linktype="known" wx:pagename="Gruppo_finito" wx:page_id="88968" id="wx1215">finito</a> · <a href="/wit/Gruppo_ciclico" title="Gruppo ciclico" wx:linktype="known" wx:pagename="Gruppo_ciclico" wx:page_id="88971" id="wx1216">ciclico</a> · <a href="/wit/Gruppo_abeliano" title="Gruppo abeliano" wx:linktype="known" wx:pagename="Gruppo_abeliano" wx:page_id="45793" id="wx1217">abeliano</a>) · <a href="/wit/Omomorfismo_di_gruppi" title="Omomorfismo di gruppi" wx:linktype="known" wx:pagename="Omomorfismo_di_gruppi" wx:page_id="42763" id="wx1218">Omomorfismo</a> · <a href="/wit/Sottogruppo_normale" title="Sottogruppo normale" wx:linktype="known" wx:pagename="Sottogruppo_normale" wx:page_id="42781" id="wx1219">Sottogruppo normale</a> · <a href="/wit/Teorema_di_isomorfismo" title="Teorema di isomorfismo" wx:linktype="known" wx:pagename="Teorema_di_isomorfismo" wx:page_id="264101" id="wx1220">Teorema di isomorfismo</a> · <a href="/wit/Permutazione" title="Permutazione" wx:linktype="known" wx:pagename="Permutazione" wx:page_id="3515" id="wx1221">Permutazione</a></small><br id="wx1222"/>
 <b id="wx1223"><a href="/wit/Teoria_degli_anelli" title="Teoria degli anelli" wx:linktype="known" wx:pagename="Teoria_degli_anelli" wx:page_id="499584" id="wx1224">Teoria degli anelli</a></b>: <small id="wx1225"><a href="/wit/Anello_%28algebra%29" title="Anello (algebra)" wx:linktype="known" wx:pagename="Anello_(algebra)" wx:page_id="33544" id="wx1226">Anello</a> · <a href="/wit/Ideale_%28matematica%29" title="Ideale (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Ideale_(matematica)" wx:page_id="256530" id="wx1227">Ideale</a> (<a href="/wit/Ideale_primo" title="Ideale primo" wx:linktype="known" wx:pagename="Ideale_primo" wx:page_id="285424" id="wx1228">primo</a> · <a href="/wit/Ideale_massimale" title="Ideale massimale" wx:linktype="known" wx:pagename="Ideale_massimale" wx:page_id="285428" id="wx1229">massimale</a>) · <a href="/wit/Dominio_d%27integrit%C3%A0" title="Dominio d'integrità" wx:linktype="known" wx:pagename="Dominio_d'integrità" wx:page_id="97779" id="wx1230">Dominio</a> (<a href="/wit/Anello_a_fattorizzazione_unica" title="Anello a fattorizzazione unica" wx:linktype="known" wx:pagename="Anello_a_fattorizzazione_unica" wx:page_id="274845" id="wx1231">a fattorizzazione unica</a> · <a href="/wit/Anello_a_ideali_principali" title="Anello a ideali principali" wx:linktype="known" wx:pagename="Anello_a_ideali_principali" wx:page_id="288089" id="wx1232">a ideali principali</a> · <a href="/wit/Anello_euclideo" title="Anello euclideo" wx:linktype="known" wx:pagename="Anello_euclideo" wx:page_id="274950" id="wx1233">euclideo</a>) · <a href="/wit/Matrice" title="Matrice" wx:linktype="known" wx:pagename="Matrice" wx:page_id="31810" id="wx1234">Matrice</a></small><br id="wx1235"/>
 <b id="wx1236"><a href="/wit/Teoria_dei_campi" title="Teoria dei campi" wx:linktype="known" wx:pagename="Teoria_dei_campi" wx:page_id="207530" id="wx1237">Teoria dei campi</a></b>: <small id="wx1238"><a href="/wit/Campo_%28matematica%29" title="Campo (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Campo_(matematica)" wx:page_id="31716" id="wx1239">Campo</a> · <a href="/wit/Estensione_di_campi" title="Estensione di campi" wx:linktype="known" wx:pagename="Estensione_di_campi" wx:page_id="483245" id="wx1240">Estensione di campi</a> · <a href="/wit/Chiusura_algebrica" title="Chiusura algebrica" wx:linktype="known" wx:pagename="Chiusura_algebrica" wx:page_id="207755" id="wx1241">Chiusura algebrica</a> · <a href="/wit/Teorema_fondamentale_dell%27algebra" title="Teorema fondamentale dell'algebra" wx:linktype="known" wx:pagename="Teorema_fondamentale_dell'algebra" wx:page_id="12917" id="wx1242">Teorema fondamentale dell'algebra</a> · <a href="/wit/Teoria_di_Galois" title="Teoria di Galois" wx:linktype="known" wx:pagename="Teoria_di_Galois" wx:page_id="207668" id="wx1243">Teoria di Galois</a></small><br id="wx1244"/>
</p>
</td>
</tr>
</table>
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<div style="margin-left:0; margin-right:0" id="wx1245">
<ul style="display:block; clear:both; list-style-image:none; list-style-type:none; width:100%; vertical-align:middle; margin:0; margin-bottom:1em; padding:0; min-height:27px" id="wx1246">
<li style="float:left; height:27px; line-height:25px; width:100%; margin:0; margin-top:.5em; margin-left:0; margin-right:0; padding:0; border:1px solid #CCF; background-color:#F0EEFF" title="Accedi alle voci di Wikipedia che parlano di matematica" id="wx1247"><a href="/wit/Immagine:Stub_matematica.png" title="matematica" wx:linktype="image" wx:pagename="Immagine:Stub_matematica.png" wx:page_id="627197" id="wx1248"><img src="/wit/Immagine:Stub_matematica.png" alt="matematica" width="25" height="25" id="wx1249"/></a> <b id="wx1250"><a href="/wit/Portale:matematica" class="new" title="Portale:matematica" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Portale:matematica" id="wx1251">Portale Matematica</a></b>
<p id="wx1252">:  accedi alle voci di Wikipedia che parlano di matematica</p>
</li>
</ul>
</div>

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</wx:section></wx:section></div>
<div id="wx_categorylinks">
<a href="/wit/index.php?title=Speciale:Categories&amp;article=Prodotto_tensoriale" title="Speciale:Categories" wx:linktype="known" wx:pagename="Speciale:Categories" id="wx1253">Categoria</a>: <span dir="ltr" id="wx1254"><a href="/wit/Categoria:Tensori" title="Categoria:Tensori" wx:linktype="known" wx:pagename="Categoria:Tensori" wx:page_id="1662719" id="wx1255">Tensori</a></span></div>
<div id="wx_languagelinks">
Altre lingue: <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Tensorprodukt" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="de:Tensorprodukt" id="wx1256">Deutsch</a> | <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="en:Tensor_product" id="wx1257">English</a> | <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_tensorial" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="es:Producto_tensorial" id="wx1258">Español</a> | <a href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_tensoriel" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="fr:Produit_tensoriel" id="wx1259">Français</a> | <a href="http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%9B%D7%A4%D7%9C%D7%94_%D7%98%D7%A0%D7%96%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="he:מכפלה_טנזורית" id="wx1260">עברית</a> | <a href="http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="ja:テンソル積" id="wx1261">日本語</a> | <a href="http://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_tensorowy" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="pl:Iloczyn_tensorowy" id="wx1262">Polski</a> | <a href="http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="ru:Тензорное_произведение" id="wx1263">Русский</a> | <a href="http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A0%E9%87%8F%E7%A7%AF" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="zh:张量积" id="wx1264">中文</a></div>
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<p id="wx1265">Tensore</p>
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<p id="wx1266">Tensore</p>
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<p id="wx1267">John</p>
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<p id="wx1268">Lee</p>
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<p id="wx1269">Introduction to Smooth Manifolds</p>
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<p id="wx1270">2002</p>
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<p id="wx1272">James</p>
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<p id="wx1273">Munkres</p>
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<p id="wx1274">Analysis on Manifolds</p>
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<p id="wx1276">Westview Press</p>
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<p id="wx1277">Richard</p>
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<p id="wx1278">Bishop</p>
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<p id="wx1279">Tensor Analysis on Manifolds</p>
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<p id="wx1280">1980</p>
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<p id="wx1281">Dover</p>
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<p id="wx1282">Samuel Goldberg</p>
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<p id="wx1283">Serge</p>
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<p id="wx1288">Paul Moritz</p>
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<p id="wx1289">Cohn</p>
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<p id="wx1290">Basic Algebra</p>
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<p id="wx1291">2003</p>
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<p id="wx1292">Springer</p>
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<p id="wx1293">Saunders</p>
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<p id="wx1294">Mac Lane</p>
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<p id="wx1295">Algebra</p>
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<p id="wx1296">1999</p>
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<p id="wx1297">AMS Chelsea</p>
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<p id="wx1298">Garrett Birkhoff</p>
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<p id="wx1299">matematica</p>
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