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<title>Assioma della scelta</title>
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<div id="wx_article">
<wx:section level="1" title="Assioma della scelta" id="wxsec1"><h1 class="pagetitle" id="wx1">Assioma della scelta</h1>

<p id="wx2">L'<b id="wx3"><a href="/wit/Assioma_%28matematica%29" title="Assioma (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Assioma_(matematica)" wx:page_id="78865" id="wx4">Assioma</a> della scelta</b>, assioma di <a href="/wit/Teoria_degli_insiemi" title="Teoria degli insiemi" wx:linktype="known" wx:pagename="Teoria_degli_insiemi" wx:page_id="4319" id="wx5">teoria degli insiemi</a> enunciato per la prima volta da <a href="/wit/Ernst_Zermelo" title="Ernst Zermelo" wx:linktype="known" wx:pagename="Ernst_Zermelo" wx:page_id="219247" id="wx6">Ernst Zermelo</a> nel <a href="/wit/1904" title="1904" wx:linktype="known" wx:pagename="1904" wx:page_id="4782" id="wx7">1904</a>, stabilisce che</p>

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;" id="wx8">
<p id="wx9">Data una <a href="/wit/Famiglia_%28matematica%29" title="Famiglia (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Famiglia_(matematica)" wx:page_id="303640" id="wx10">famiglia</a> <a href="/wit/Insieme_vuoto" title="Insieme vuoto" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme_vuoto" wx:page_id="2401" id="wx11">non vuota</a> di <a href="/wit/Insieme" title="Insieme" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme" wx:page_id="16420" id="wx12">insiemi</a> non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento.</p>
</blockquote>

<p id="wx13">In parole povere, quando ci viene dato un certo numero di <a href="/wit/Insieme" title="Insieme" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme" wx:page_id="16420" id="wx14">insiemi</a> possiamo costruire un nuovo insieme "scegliendo" un singolo elemento da ciascuno di quelli di partenza. Se il numero di insiemi di partenza è finito gli altri assiomi della <a href="/wit/Teoria_degli_insiemi" title="Teoria degli insiemi" wx:linktype="known" wx:pagename="Teoria_degli_insiemi" wx:page_id="4319" id="wx15">teoria degli insiemi</a> sono sufficienti a garantire la possibilità di questa scelta; nel caso di un numero infinito di insiemi invece occorre introdurre nella teoria un assioma specifico, l'<b id="wx16">assioma della scelta</b> appunto.</p>

<p id="wx17">Un tipico esempio con cui si spiega il senso dell'assioma è il seguente: supponiamo di avere un numero infinito di paia di scarpe e di voler definire un insieme che contiene una (e una sola) scarpa di ogni paio, possiamo farlo senza problemi considerando ad esempio l'insieme delle scarpe destre. I problemi nascono se abbiamo un numero infinito di paia di calzini, e vogliamo considerare come prima un insieme che contenga un calzino per ognuno di essi: non possiamo più parlare dell'insieme dei "calzini destri" e non abbiamo in effetti nessun modo di distinguere i due elementi di un paio, cioè di avere una <i id="wx18">funzione di scelta</i> che ci assicuri di poterne scegliere contemporaneamente uno da ogni insieme. Per poter dire che un tale insieme comunque esiste dobbiamo invocare l'<i id="wx19">assioma della scelta</i>.</p>

<p id="wx20">L'assioma della scelta viene talvolta indicato con l'acronimo <b id="wx21">AC</b> (dall'inglese <i id="wx22">Axiom of Choice</i>), soprattutto nell'ambito della <a href="/wit/Logica_matematica" title="Logica matematica" wx:linktype="known" wx:pagename="Logica_matematica" wx:page_id="78920" id="wx23">logica matematica</a>.</p>

<p id="wx24"><br id="wx25"/>
</p>

<div id="wx_toc"/>

<a id="Il_ruolo_nella_matematica_contemporanea" name="Il_ruolo_nella_matematica_contemporanea"/>
<wx:section level="2" title="Il ruolo nella matematica contemporanea" id="wxsec2"><h2 id="wx26">Il ruolo nella matematica contemporanea</h2>

<p id="wx27">Nella matematica contemporanea l'assioma della scelta ha molte importanti conseguenze in tutti i rami e ciò ha senz'altro contribuito a far sì che fosse diffusamente accettato.</p>

<p id="wx28">Alcuni risultati per i quali è indispensabile l'assioma della scelta:</p>

<ul id="wx29">
<li id="wx30">
<p id="wx31">Ogni <a href="/wit/Spazio_vettoriale" title="Spazio vettoriale" wx:linktype="known" wx:pagename="Spazio_vettoriale" wx:page_id="12132" id="wx32">spazio vettoriale</a> ammette una <a href="/wit/Base_%28algebra_lineare%29" title="Base (algebra lineare)" wx:linktype="known" wx:pagename="Base_(algebra_lineare)" wx:page_id="103296" id="wx33">base</a></p>
</li>

<li id="wx34">
<p id="wx35">Ogni <a href="/wit/Anello_%28algebra%29" title="Anello (algebra)" wx:linktype="known" wx:pagename="Anello_(algebra)" wx:page_id="33544" id="wx36">anello unitario</a> ammette <a href="/wit/Ideale_massimale" title="Ideale massimale" wx:linktype="known" wx:pagename="Ideale_massimale" wx:page_id="285428" id="wx37">ideali massimali</a></p>
</li>

<li id="wx38">
<p id="wx39">Il <a href="/wit/Teorema_di_compattezza_per_la_logica_dei_predicati" class="new" title="Teorema di compattezza per la logica dei predicati" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Teorema_di_compattezza_per_la_logica_dei_predicati" id="wx40">Teorema di compattezza per la logica dei predicati</a></p>
</li>

<li id="wx41">
<p id="wx42">Il <a href="/wit/Teorema_di_Hahn-Banach" title="Teorema di Hahn-Banach" wx:linktype="known" wx:pagename="Teorema_di_Hahn-Banach" wx:page_id="301977" id="wx43">teorema di Hahn-Banach</a></p>
</li>
</ul>

<p id="wx44">Se da un lato l'assioma della scelta consente di dimostrare dei risultati importanti, dall'altro porta anche alla costruzione di oggetti matematici controintuitivi, come insiemi non misurabili (vedi l'<a href="/wit/Insieme_di_Vitali" title="Insieme di Vitali" wx:linktype="known" wx:pagename="Insieme_di_Vitali" wx:page_id="77535" id="wx45">insieme di Vitali</a>) o come partizioni finite della sfera che riassemblate opportunamente diventano due sfere di uguale dimensione (vedi il <a href="/wit/Paradosso_di_Banach-Tarski" title="Paradosso di Banach-Tarski" wx:linktype="known" wx:pagename="Paradosso_di_Banach-Tarski" wx:page_id="903879" id="wx46">paradosso di Banach-Tarski</a>).</p>

<a id="Enunciati_equivalenti_all.27assioma_della_scelta" name="Enunciati_equivalenti_all.27assioma_della_scelta"/>
</wx:section><wx:section level="2" title="Enunciati equivalenti all'assioma della scelta" id="wxsec3"><h2 id="wx47">Enunciati equivalenti all'assioma della scelta</h2>

<p id="wx48">Esistono molte altre formulazioni che si possono dimostrare equivalenti all'assioma della scelta: vale a dire che accettando come assiomi una qualunque di esse si può dimostrare AC, e viceversa che accettando AC esse sono tutte dimostrabili. Le più comuni tra esse sono</p>

<ul id="wx49">
<li id="wx50"><a href="/wit/Lemma_di_Zorn" title="Lemma di Zorn" wx:linktype="known" wx:pagename="Lemma_di_Zorn" wx:page_id="74724" id="wx51">Lemma di Zorn</a></li>

<li id="wx52"><a href="/wit/Teorema_del_buon_ordinamento" title="Teorema del buon ordinamento" wx:linktype="known" wx:pagename="Teorema_del_buon_ordinamento" wx:page_id="265261" id="wx53">Teorema del buon ordinamento</a>
<p id="wx54">: su ogni insieme si può definire un <a href="/wit/Relazione_d%27ordine" title="Relazione d'ordine" wx:linktype="known" wx:pagename="Relazione_d'ordine" wx:page_id="57467" id="wx55">buon ordinamento</a>.</p>
</li>

<li id="wx56"><a href="/wit/Assioma_moltiplicativo" class="new" title="Assioma moltiplicativo" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Assioma_moltiplicativo" id="wx57">Assioma moltiplicativo</a>
<p id="wx58">: il <a href="/wit/Prodotto_cartesiano" title="Prodotto cartesiano" wx:linktype="known" wx:pagename="Prodotto_cartesiano" wx:page_id="49503" id="wx59">prodotto cartesiano</a> di una famiglia di insiemi non vuoti è non vuoto.</p>
</li>

<li id="wx60"><a href="/wit/Teorema_di_Hartogs" class="new" title="Teorema di Hartogs" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Teorema_di_Hartogs" id="wx61">Teorema di Hartogs</a>
<p id="wx62">: la <a href="/wit/Relazione_d%27ordine" title="Relazione d'ordine" wx:linktype="known" wx:pagename="Relazione_d'ordine" wx:page_id="57467" id="wx63">relazione d'ordine</a> standard sui <a href="/wit/Numero_cardinale_%28matematica%29" title="Numero cardinale (matematica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Numero_cardinale_(matematica)" wx:page_id="284910" id="wx64">cardinali</a> è totale.</p>
</li>
</ul>

<a id="Consistenza_e_indipendenza_dagli_altri_assiomi" name="Consistenza_e_indipendenza_dagli_altri_assiomi"/>
</wx:section><wx:section level="2" title="Consistenza e indipendenza dagli altri assiomi" id="wxsec4"><h2 id="wx65">Consistenza e indipendenza dagli altri assiomi</h2>

<p id="wx66">Nel 1938 <a href="/wit/Kurt_G%C3%B6del" title="Kurt Gödel" wx:linktype="known" wx:pagename="Kurt_Gödel" wx:page_id="2515" id="wx67">Kurt Gödel</a> ha dimostrato che se il <a href="/wit/Teoria_degli_insiemi_di_Zermelo-Fraenkel" title="Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel" wx:linktype="known" wx:pagename="Teoria_degli_insiemi_di_Zermelo-Fraenkel" wx:page_id="288276" id="wx68">sistema assiomatico di Zermelo - Fraenkel</a> (noto anche con l'acronimo ZF) è <a href="/wit/Teoria_consistente" class="new" title="Teoria consistente" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Teoria_consistente" id="wx69">consistente</a> allora rimane consistente anche con l'aggiunta dell'assioma della scelta. Il risultato di Gödel è stato ottenuto costruendo un <a href="/wit/Modello_%28logica%29" title="Modello (logica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Modello_(logica)" wx:page_id="306099" id="wx70">modello</a> per la teoria degli insiemi in cui l'assioma della scelta era valido (il modello è noto come <a href="/wit/Universo_degli_insiemi_costruibili" class="new" title="Universo degli insiemi costruibili" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Universo_degli_insiemi_costruibili" id="wx71">Universo degli insiemi costruibili</a>). Tuttavia l'assioma della scelta non si può dimostrare a partire dagli altri assiomi, come è stato dimostrato da <a href="/wit/Paul_Cohen" title="Paul Cohen" wx:linktype="known" wx:pagename="Paul_Cohen" wx:page_id="16298" id="wx72">Cohen</a> nel 1963. La dimostrazione di Cohen si basa sulla costruzione di un <a href="/wit/Modello_%28logica%29" title="Modello (logica)" wx:linktype="known" wx:pagename="Modello_(logica)" wx:page_id="306099" id="wx73">modello</a> alternativo alla teoria degli insiemi mediante la tecnica del <a href="/wit/Forcing" class="new" title="Forcing" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Forcing" id="wx74">forcing</a>: nel modello di Cohen tutti gli assiomi di ZF sono veri e l'assioma della scelta è falso.</p>

<a id="Collegamenti_esterni" name="Collegamenti_esterni"/>
</wx:section><wx:section level="2" title="Collegamenti esterni" id="wxsec5"><h2 id="wx75">Collegamenti esterni</h2>

<ul id="wx76">
<li id="wx77"><a href="http://math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/choice.html" class="external free" wx:linktype="external" rel="nofollow" id="wx78">http://math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/choice.html</a></li>
</ul>

<wx:template id="wx_t1" pagename="Template:Portale" page_id="949487"/>
<div style="margin-left:0; margin-right:0" id="wx79">
<ul style="display:block; clear:both; list-style-image:none; list-style-type:none; width:100%; vertical-align:middle; margin:0; margin-bottom:1em; padding:0; min-height:27px" id="wx80">
<li style="float:left; height:27px; line-height:25px; width:100%; margin:0; margin-top:.5em; margin-left:0; margin-right:0; padding:0; border:1px solid #CCF; background-color:#F0EEFF" title="Accedi alle voci di Wikipedia che parlano di matematica" id="wx81"><a href="/wit/Immagine:Stub_matematica.png" title="matematica" wx:linktype="image" wx:pagename="Immagine:Stub_matematica.png" wx:page_id="627197" id="wx82"><img src="/wit/Immagine:Stub_matematica.png" alt="matematica" width="25" height="25" id="wx83"/></a> <b id="wx84"><a href="/wit/Portale:matematica" class="new" title="Portale:matematica" wx:linktype="unknown" wx:pagename="Portale:matematica" id="wx85">Portale Matematica</a></b>
<p id="wx86">:  accedi alle voci di Wikipedia che parlano di matematica</p>
</li>
</ul>
</div>

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</wx:section></wx:section></div>
<div id="wx_categorylinks">
<a href="/wit/index.php?title=Speciale:Categories&amp;article=Assioma_della_scelta" title="Speciale:Categories" wx:linktype="known" wx:pagename="Speciale:Categories" id="wx87">Categorie</a>: <span dir="ltr" id="wx88"><a href="/wit/Categoria:Assiomi" title="Categoria:Assiomi" wx:linktype="known" wx:pagename="Categoria:Assiomi" wx:page_id="132902" id="wx89">Assiomi</a></span> | <span dir="ltr" id="wx90"><a href="/wit/Categoria:Teoria_degli_insiemi" title="Categoria:Teoria degli insiemi" wx:linktype="known" wx:pagename="Categoria:Teoria_degli_insiemi" wx:page_id="37861" id="wx91">Teoria degli insiemi</a></span> | <span dir="ltr" id="wx92"><a href="/wit/Categoria:Logica_matematica" title="Categoria:Logica matematica" wx:linktype="known" wx:pagename="Categoria:Logica_matematica" wx:page_id="43003" id="wx93">Logica matematica</a></span></div>
<div id="wx_languagelinks">
Altre lingue: <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Axioma_d%27elecci%C3%B3" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="ca:Axioma_d'elecció" id="wx94">Català</a> | <a href="http://cs.wikipedia.org/wiki/Axiom_v%C3%BDb%C4%9Bru" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="cs:Axiom_výběru" id="wx95">Česky</a> | <a href="http://da.wikipedia.org/wiki/Udvalgsaksiomet" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="da:Udvalgsaksiomet" id="wx96">Dansk</a> | <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="de:Auswahlaxiom" id="wx97">Deutsch</a> | <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="en:Axiom_of_choice" id="wx98">English</a> | <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_elecci%C3%B3n" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="es:Axioma_de_elección" id="wx99">Español</a> | <a href="http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D8%B5%D9%84_%D9%85%D9%88%D8%B6%D9%88%D8%B9_%D8%A7%D9%86%D8%AA%D8%AE%D8%A7%D8%A8" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="fa:اصل_موضوع_انتخاب" id="wx100">فارسی</a> | <a href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="fr:Axiome_du_choix" id="wx101">Français</a> | <a href="http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A7%D7%A1%D7%99%D7%95%D7%9E%D7%AA_%D7%94%D7%91%D7%97%D7%99%D7%A8%D7%94" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="he:אקסיומת_הבחירה" id="wx102">עברית</a> | <a href="http://hu.wikipedia.org/wiki/Kiv%C3%A1laszt%C3%A1si_axi%C3%B3ma" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="hu:Kiválasztási_axióma" id="wx103">Magyar</a> | <a href="http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="ja:選択公理" id="wx104">日本語</a> | <a href="http://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%90%E1%83%9B%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%A9%E1%83%94%E1%83%95%E1%83%98%E1%83%A1_%E1%83%90%E1%83%A5%E1%83%A1%E1%83%98%E1%83%9D%E1%83%9B%E1%83%90" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="ka:ამორჩევის_აქსიომა" id="wx105">ქართული</a> | <a href="http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%84%A0%ED%83%9D%EA%B3%B5%EB%A6%AC" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="ko:선택공리" id="wx106">한국어</a> | <a href="http://nl.wikipedia.org/wiki/Keuzeaxioma" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="nl:Keuzeaxioma" id="wx107">Nederlands</a> | <a href="http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomat_wyboru" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="pl:Aksjomat_wyboru" id="wx108">Polski</a> | <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma_da_escolha" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="pt:Axioma_da_escolha" id="wx109">Português</a> | <a href="http://ro.wikipedia.org/wiki/Axioma_alegerii" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="ro:Axioma_alegerii" id="wx110">Română</a> | <a href="http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="ru:Аксиома_выбора" id="wx111">Русский</a> | <a href="http://sv.wikipedia.org/wiki/Urvalsaxiomet" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="sv:Urvalsaxiomet" id="wx112">Svenska</a> | <a href="http://vi.wikipedia.org/wiki/Ti%C3%AAn_%C4%91%E1%BB%81_ch%E1%BB%8Dn" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="vi:Tiên_đề_chọn" id="wx113">Tiếng Việt</a> | <a href="http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%89%E6%8B%A9%E5%85%AC%E7%90%86" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="zh:选择公理" id="wx114">中文</a> | <a href="http://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%93%87%E5%85%AC%E7%90%86" class="external" wx:linktype="interwiki" wx:pagename="zh-classical:選擇公理" id="wx115">古文 / 文言文</a></div>
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<p id="wx116">matematica</p>
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